1. Énonçons le problème : Calculer la hauteur $AD$ du phare dans un triangle rectangle où les points $A$, $B$, et $C$ sont alignés. 2. Observons que le triangle $ADC$ est rectangle en $A$ avec $AD$ la hauteur verticale de 50 m, et les angles au point $A$ sont $72^\circ$ et $56^\circ$. 3. Utilisons la somme des angles dans un triangle : $$72^\circ + 56^\circ + \angle D = 180^\circ$$ 4. Calculons l'angle $\angle D$ : $$\angle D = 180^\circ - 72^\circ - 56^\circ = 52^\circ$$ 5. Sachant que $AD$ est la hauteur verticale, et que $AC$ est la base horizontale, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour trouver $AD$. 6. Utilisons la fonction trigonométrique sinus dans le triangle rectangle : $$\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$$ 7. Ici, $\theta = 72^\circ$, l'opposé est $AD$, et l'hypoténuse est $DC$. 8. Exprimons $AD$ en fonction de $DC$ : $$AD = DC \times \sin(72^\circ)$$ 9. De même, pour l'angle $56^\circ$, le cosinus donne : $$\cos(56^\circ) = \frac{AC}{DC} \Rightarrow AC = DC \times \cos(56^\circ)$$ 10. Puisque $AC$ est la base horizontale, et $AD$ la hauteur, et que $AD$ est donné comme 50 m, nous pouvons écrire : $$50 = DC \times \sin(72^\circ)$$ 11. Résolvons pour $DC$ : $$DC = \frac{50}{\sin(72^\circ)}$$ 12. Calculons $\sin(72^\circ) \approx 0.9511$ donc : $$DC \approx \frac{50}{0.9511} \approx 52.58$$ 13. Maintenant, calculons $AC$ : $$AC = 52.58 \times \cos(56^\circ)$$ 14. Calculons $\cos(56^\circ) \approx 0.5592$ donc : $$AC \approx 52.58 \times 0.5592 \approx 29.4$$ 15. La hauteur $AD$ est donc confirmée comme 50 m. Réponse finale : La hauteur $AD$ du phare est de 50 mètres.