1. **Énoncé du problème :** Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan, $I$ le milieu de $[AB]$, et $f : \Omega \to \Omega$ définie par $2\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ pour tout point $M$. 2. **Déterminer $f(A)$ :** On remplace $M$ par $A$ dans la relation : $$2\overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$$ Donc $$\overrightarrow{AA'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ Cela signifie que $A' = f(A)$ est le point tel que $\overrightarrow{AA'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$, donc $A'$ est le milieu de $[AB]$, c'est-à-dire $A' = I$. 3. **Montrer que $f$ admet un unique point invariant $G$ :** Un point invariant $G$ vérifie $f(G) = G$, donc $G' = G$. D'après la définition : $$2\overrightarrow{GG'} = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}$$ Or $G' = G$, donc $\overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{0}$, d'où $$\overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}$$ On exprime $\overrightarrow{GB}$ en fonction de $\overrightarrow{GA}$ : $$\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}$$ Donc $$\overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}$$ D'où $$3\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{GA} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$$ Cela signifie que $G$ est sur la droite $(AB)$ et que $G$ divise $[AB]$ en un rapport $-\frac{1}{3}$, donc $$G = A - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$$ C'est l'unique point invariant. 4. **Montrer que $f$ est une homothétie, préciser centre et rapport :** Reprenons la définition : $$2\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$$ On exprime $\overrightarrow{MB}$ en fonction de $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{AB}$ : $$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$$ Donc $$2\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$$ D'où $$\overrightarrow{MM'} = \frac{3}{2} \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ On écrit $\overrightarrow{MM'}$ en fonction de $\overrightarrow{MG}$ : $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$$ On remplace dans l'expression : $$\overrightarrow{MM'} = \frac{3}{2} (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{2} \overrightarrow{MG} + \frac{3}{2} \overrightarrow{GA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ Or $\overrightarrow{GA} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$, donc $$\frac{3}{2} \overrightarrow{GA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{2} \left(-\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}\right) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$ Ainsi $$\overrightarrow{MM'} = \frac{3}{2} \overrightarrow{MG}$$ Cela montre que $f$ est une homothétie de centre $G$ et de rapport $\frac{3}{2}$. 5. **Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $2 MM' = 3 MA$ :** On a $$2\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$$ L'égalité demandée est $$2\overrightarrow{MM'} = 3\overrightarrow{MA}$$ En égalant les deux expressions : $$3\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$$ Donc $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$$ Cela signifie que $M$ est tel que $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$, donc $$M = B$$ L'ensemble est donc le point $B$. 6. **Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\frac{M'}{2} + M'G^2 = IG^2$ :** L'énoncé semble ambigu ici, mais si on interprète $\frac{M'}{2} + M'G^2 = IG^2$ comme une relation vectorielle ou de distances, il faudrait plus de précisions. En l'état, cette question ne peut être résolue sans clarification. **Réponse finale :** - $f(A) = I$ (milieu de $[AB]$). - $f$ admet un unique point invariant $G = A - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$. - $f$ est une homothétie de centre $G$ et de rapport $\frac{3}{2}$. - L'ensemble des points $M$ tels que $2 MM' = 3 MA$ est le point $B$.