1. **Énoncé du problème :** On considère un quadrilatère ABDE et un triangle DEC. On définit le rapport $$\lambda = \frac{S'}{S}$$ où $$S'$$ est la surface du quadrilatère ABDE et $$S$$ la surface du triangle DEC. On note $$h$$ la longueur $$DE$$. 2. **Objectif :** Exprimer la longueur $$AB$$ en fonction de $$h$$ et $$\lambda$$. 3. **Formule et raisonnement :** Supposons que le quadrilatère ABDE et le triangle DEC partagent une base commune ou que leurs surfaces sont proportionnelles à leurs bases si la hauteur est la même. La surface du triangle DEC est donnée par : $$S = \frac{1}{2} \times DE \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} h \times \text{hauteur}$$ La surface du quadrilatère ABDE peut être vue comme un trapèze ou une figure dont la surface est proportionnelle à la somme des bases (ici AB et DE) multipliée par la même hauteur : $$S' = \frac{1}{2} (AB + DE) \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} (AB + h) \times \text{hauteur}$$ 4. **Calcul du rapport $$\lambda$$ :** $$\lambda = \frac{S'}{S} = \frac{\frac{1}{2} (AB + h) \times \text{hauteur}}{\frac{1}{2} h \times \text{hauteur}} = \frac{AB + h}{h}$$ 5. **Isoler $$AB$$ :** $$\lambda = \frac{AB + h}{h} \Rightarrow \lambda = \frac{AB}{h} + 1$$ $$\Rightarrow \lambda - 1 = \frac{AB}{h}$$ $$\Rightarrow AB = h (\lambda - 1)$$ **Réponse finale :** $$AB = h (\lambda - 1)$$