1. Énoncé du problème : Nous avons un mât vertical de 9 mètres de hauteur stabilisé par deux câbles fixés au sol. L'un des câbles est attaché à 4 mètres horizontalement du pied du mât. Nous devons déterminer la longueur minimale totale des deux câbles nécessaires. 2. Formule utilisée : Pour chaque câble, la longueur correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par la hauteur du mât (9 m) et la distance horizontale du point d'attache au sol. La longueur d'un câble est donnée par le théorème de Pythagore : $$L = \sqrt{h^2 + d^2}$$ avec $h=9$ m la hauteur du mât et $d$ la distance horizontale du point d'attache. 3. Analyse : Le premier câble est fixé à 4 mètres du mât, donc sa longueur est : $$L_1 = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}$$ Le second câble est fixé de l'autre côté, mais la distance horizontale n'est pas donnée explicitement. Pour minimiser la longueur totale des câbles, on suppose que le second câble est fixé à une distance $x$ mètres de l'autre côté. 4. Expression de la longueur totale : $$L_{total} = \sqrt{9^2 + 4^2} + \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{97} + \sqrt{81 + x^2}$$ 5. Minimisation : Pour minimiser $L_{total}$, on doit choisir $x$ qui minimise $\sqrt{81 + x^2}$. La plus petite valeur est obtenue pour $x=0$, mais cela ne correspond pas à un câble fixé au sol. Si la distance du second câble est égale à celle du premier (symétrie), alors $x=4$ m aussi. 6. Calcul de la longueur totale minimale avec $x=4$ m : $$L_{total} = \sqrt{97} + \sqrt{97} = 2 \times \sqrt{97}$$ 7. Calcul numérique : $$\sqrt{97} \approx 9.85$$ Donc, $$L_{total} \approx 2 \times 9.85 = 19.7$$ mètres. Réponse finale : La longueur minimale totale des câbles nécessaire est d'environ **19.7 mètres**.