1. **Énoncé du problème :** Nous avons un mât vertical stabilisé par deux câbles fixés au sol. Le mât forme deux triangles rectangles avec les câbles comme hypotenuses. La base du triangle de gauche mesure 9 m, celle de droite 4 m, et la hauteur du mât est inconnue, notée $h$. 2. **Objectif :** Trouver la longueur minimale totale des câbles, soit $L = L_1 + L_2$, où $L_1$ et $L_2$ sont les longueurs des câbles gauche et droite. 3. **Formule utilisée :** La longueur d'un câble est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, donc $$L_1 = \sqrt{h^2 + 9^2} = \sqrt{h^2 + 81}$$ $$L_2 = \sqrt{h^2 + 4^2} = \sqrt{h^2 + 16}$$ La longueur totale est $$L(h) = \sqrt{h^2 + 81} + \sqrt{h^2 + 16}$$ 4. **Minimisation :** Pour minimiser $L(h)$, on dérive par rapport à $h$ et on cherche où la dérivée s'annule. 5. **Calcul de la dérivée :** $$L'(h) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + 81}} + \frac{h}{\sqrt{h^2 + 16}}$$ 6. **Recherche des points critiques :** Posons $L'(h) = 0$ : $$h \left( \frac{1}{\sqrt{h^2 + 81}} + \frac{1}{\sqrt{h^2 + 16}} \right) = 0$$ 7. **Solutions :** L'expression entre parenthèses est toujours positive, donc la seule solution est $$h = 0$$ 8. **Interprétation :** $h=0$ correspond à un mât inexistant, ce qui n'est pas réaliste. La fonction $L(h)$ est croissante pour $h>0$ car $L'(h) > 0$. 9. **Conclusion :** La longueur totale des câbles augmente avec la hauteur $h$. Pour une hauteur donnée, la longueur totale est $$L = \sqrt{h^2 + 81} + \sqrt{h^2 + 16}$$ Sans valeur de $h$, on ne peut pas calculer la longueur minimale. Si $h$ est fixé, on calcule $L$ directement. **Remarque :** Si la hauteur $h$ est variable, la longueur minimale est atteinte pour $h$ proche de 0, ce qui n'a pas de sens physique. Donc, la longueur minimale dépend de la hauteur réelle du mât.