1. **Énoncé du problème :** Déterminer la longueur du segment DF, pièce de bois perpendiculaire à la hauteur BE, dans une structure d'arche de hauteur 13 m. 2. **Données et construction :** - Hauteur de l'arche $BE = 13$ m. - Triangle isocèle $ABD$ avec base $AD$ égale à la moitié de la largeur de l'arche. - Hauteur du triangle isocèle $AB = 0{,}8 \times 13 = 10{,}4$ m. 3. **Calcul de la base $AD$ du triangle isocèle $ABD$ :** Soit $AB = BD = 10{,}4$ m (côtés égaux), et $AD$ la base inconnue. 4. **Triangle rectangle $BDE$ :** - $DE$ est égal à un côté du triangle isocèle $ABD$, donc $DE = AB = 10{,}4$ m. - $BE = 13$ m (hypoténuse). 5. **Calcul de la longueur $DE$ dans le triangle rectangle $BDE$ :** On connaît $BE$ (hypoténuse) et $DE$ (un cathète), on peut calculer $BD$ (l'autre cathète) : $$BD = \sqrt{BE^2 - DE^2} = \sqrt{13^2 - 10{,}4^2} = \sqrt{169 - 108{,}16} = \sqrt{60{,}84} \approx 7{,}8\,m$$ 6. **Calcul de la longueur $DF$ :** Le segment $DF$ est perpendiculaire à $BE$ et forme un triangle rectangle avec $BD$ et $DF$. Dans le triangle rectangle $BDF$ : - $BD = 7{,}8$ m - $BE = 13$ m - $DF$ est la longueur recherchée, perpendiculaire à $BE$. 7. **Utilisation de la relation trigonométrique :** Le triangle $BDF$ est rectangle en $F$, donc $DF$ est la hauteur relative à l'hypoténuse $BE$. On peut utiliser la formule de la hauteur dans un triangle rectangle : $$DF = \frac{BD \times DE}{BE} = \frac{7{,}8 \times 10{,}4}{13} = \frac{81{,}12}{13} \approx 6{,}2\,m$$ **Réponse finale :** La longueur de la pièce de bois $DF$ à installer est d'environ **6,2 mètres**.