1. Énoncé du problème : Nous avons un mât vertical et deux câbles attachés du sommet du mât au sol, formant deux triangles rectangles. Le câble gauche est fixé à 9 mètres du pied du mât, le câble droit à 4 mètres. Nous devons déterminer la longueur minimale totale des deux câbles. 2. Formule utilisée : Pour chaque câble, la longueur correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Si $h$ est la hauteur du mât, alors la longueur du câble gauche est $\sqrt{h^2 + 9^2}$ et celle du câble droit est $\sqrt{h^2 + 4^2}$. 3. Longueur totale des câbles : $$L(h) = \sqrt{h^2 + 81} + \sqrt{h^2 + 16}$$ 4. Pour minimiser $L(h)$, on dérive $L(h)$ par rapport à $h$ et on cherche où la dérivée est nulle : $$L'(h) = \frac{h}{\sqrt{h^2 + 81}} + \frac{h}{\sqrt{h^2 + 16}} = 0$$ 5. Comme $h > 0$, on peut diviser par $h$ : $$\frac{1}{\sqrt{h^2 + 81}} + \frac{1}{\sqrt{h^2 + 16}} = 0$$ Cette somme ne peut jamais être nulle car chaque terme est positif. Donc la dérivée ne s'annule pas pour $h > 0$. 6. On examine les limites : - Quand $h \to 0$, $L(0) = 9 + 4 = 13$ - Quand $h \to +\infty$, $L(h) \approx 2h \to +\infty$ 7. Donc la longueur minimale est atteinte pour $h=0$, ce qui n'est pas possible car le mât a une hauteur positive. 8. Conclusion : La longueur minimale totale des câbles est la somme des distances au sol, soit $9 + 4 = 13$ mètres, ce qui correspond à un mât de hauteur nulle. Pour un mât de hauteur positive, la longueur totale sera toujours supérieure à 13 mètres. Sans la hauteur exacte du mât, on ne peut pas calculer la longueur précise des câbles. Slug : "longueur cables" Subject : "géométrie" Desmos : {"latex":"y=\sqrt{x^2+81}+\sqrt{x^2+16}","features":{"intercepts":false,"extrema":true}} q_count : 1