1. **Problème 11 : Longueur minimale de câble pour le mât** On a un mât vertical avec deux câbles fixés au sol à 9 m et 4 m de la base du mât. On cherche la longueur minimale totale des câbles. Formule utilisée : longueur du câble = hypothénuse du triangle rectangle formé par le mât et la distance au point d'ancrage. Soit $h$ la hauteur du mât, $d_1=9$ m, $d_2=4$ m. Longueur totale = $\sqrt{h^2 + 9^2} + \sqrt{h^2 + 4^2}$. Pour minimiser cette somme, on doit connaître $h$ ou utiliser une méthode d'optimisation. Supposons que $h$ est donné ou qu'on cherche l'expression en fonction de $h$. 2. **Problème 12 : Hauteur de Big Ben par triangles semblables** Données : - Hauteur de Marc-Olivier = 1.82 m - Distance de Marc-Olivier au miroir = 2.6 m - Distance du miroir à Big Ben = 137.1 m Les triangles formés sont semblables, donc : $$\frac{\text{hauteur Big Ben}}{137.1} = \frac{1.82}{2.6}$$ On résout pour la hauteur de Big Ben : $$\text{hauteur Big Ben} = \frac{1.82}{2.6} \times 137.1$$ Calcul intermédiaire : $$\text{hauteur Big Ben} = \frac{1.82 \times 137.1}{2.6}$$ 3. **Problème 13 : Vérification de la similitude des équerres** On compare les rapports des côtés correspondants des triangles rectangles formés par les équerres. Équerre 1 : côtés 15 cm, 20 cm Équerre 2 : côtés 13 cm, 15 cm Rapport 1 : $\frac{15}{20} = 0.75$ Rapport 2 : $\frac{13}{15} \approx 0.867$ Les rapports ne sont pas égaux, donc pas semblables. Équerre 3 : côtés 11.25 cm, 8 cm Rapport 3 : $\frac{11.25}{8} = 1.40625$ Équerre 4 : côté 6 cm (autre côté non spécifié, donc on ne peut pas conclure) **Réponses finales :** 1. Longueur totale des câbles = $\sqrt{h^2 + 9^2} + \sqrt{h^2 + 4^2}$ (en fonction de $h$). 2. Hauteur de Big Ben = $\frac{1.82 \times 137.1}{2.6} = 95.96$ m (arrondi). 3. Les équerres 1 et 2 ne sont pas semblables car leurs rapports ne sont pas égaux. Les équerres 3 et 4 ne peuvent pas être comparées faute de données complètes.