1. **Énoncé du problème :** On considère un parallélogramme ABCD avec les points M et N tels que $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AC}$ et N est l'image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$. 2. **Construction de la figure :** - Tracer le parallélogramme ABCD. - Placer M tel que $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AC}$, donc M est obtenu en décalant D par le vecteur $\overrightarrow{AC}$. - Placer N comme image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$, donc $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB}$. 3. **Montrer que $DA = AN$ :** - Par définition, $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB}$. - Dans un parallélogramme, $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$. - Donc $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{DA}$. - Par conséquent, les segments $DA$ et $AN$ ont la même longueur et la même direction, donc $DA = AN$. 4. **Déduire que A est le milieu de [DN] :** - On a $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{DA}$. - Cela implique que $\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} = 2 \overrightarrow{DA}$. - Donc, $\overrightarrow{DA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DN}$. - Cela signifie que A est le point milieu du segment [DN]. 5. **Nature du quadrilatère ANCM :** - On sait que $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB}$. - Dans un parallélogramme, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$. - Les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont donc égaux car $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ (en utilisant les propriétés du parallélogramme). - Par conséquent, le quadrilatère ANCM est un parallélogramme. **Réponse finale :** - $DA = AN$ - A est le milieu de [DN] - Le quadrilatère ANCM est un parallélogramme.