1. **Énoncé du problème :** Nous avons un trapèze rectangle ABCD composé d'un rectangle BCDE et d'un triangle rectangle ABE. Le rectangle BCDE a une aire de $12x^2 + 7x + 1$ m². La hauteur EB du triangle ABE correspond à la largeur du rectangle. La base AE du triangle est $2x + 2$ m et son hypoténuse AB mesure 20 m. Nous devons déterminer, à l'unité près, le périmètre du trapèze ABCD. 2. **Formule et règles importantes :** - L'aire du rectangle est $\text{largeur} \times \text{hauteur}$. - Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s'applique : $$AB^2 = AE^2 + EB^2$$ - Le périmètre du trapèze est la somme des longueurs de ses côtés : $AB + BC + CD + DA$. 3. **Détermination des dimensions :** - Soit $EB = w$ la largeur du rectangle. - L'aire du rectangle est donc $w \times h = 12x^2 + 7x + 1$. - Puisque $EB = w$, et que $BCDE$ est un rectangle, la hauteur $h$ est la longueur $BC$. 4. **Utilisation du théorème de Pythagore :** $$20^2 = (2x + 2)^2 + (3x + 1)^2$$ Calculons : $$400 = (2x + 2)^2 + (3x + 1)^2$$ $$400 = (4x^2 + 8x + 4) + (9x^2 + 6x + 1)$$ $$400 = 13x^2 + 14x + 5$$ 5. **Résolution de l'équation quadratique :** $$13x^2 + 14x + 5 - 400 = 0$$ $$13x^2 + 14x - 395 = 0$$ 6. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = 14^2 - 4 \times 13 \times (-395) = 196 + 20540 = 20736$$ 7. **Solutions :** $$x = \frac{-14 \pm \sqrt{20736}}{2 \times 13} = \frac{-14 \pm 144}{26}$$ - Solution 1 : $$x = \frac{-14 + 144}{26} = \frac{130}{26} = 5$$ - Solution 2 : $$x = \frac{-14 - 144}{26} = \frac{-158}{26} = -6.08$$ (non valide car longueur négative) Donc $x = 5$. 8. **Calcul des dimensions :** - Base AE : $$2x + 2 = 2 \times 5 + 2 = 12$$ - Hauteur EB (largeur du rectangle) : L'aire du rectangle est $12x^2 + 7x + 1$ : $$12 \times 5^2 + 7 \times 5 + 1 = 12 \times 25 + 35 + 1 = 300 + 36 = 336$$ - Soit $w = EB$, et $h = BC$, alors $$w \times h = 336$$ 9. **Détermination de $w$ et $h$ :** On sait que $EB = w = 3x + 1$ (car dans l'énoncé, la hauteur EB est donnée par $3x + 1$), donc : $$w = 3 \times 5 + 1 = 16$$ Donc : $$h = \frac{336}{16} = 21$$ 10. **Calcul des côtés du trapèze :** - $AB = 20$ (hypoténuse du triangle) - $BC = h = 21$ - $CD = AE = 12$ - $DA = w = 16$ 11. **Calcul du périmètre :** $$P = AB + BC + CD + DA = 20 + 21 + 12 + 16 = 69$$ **Réponse finale :** Le périmètre du trapèze ABCD est $\boxed{69}$ mètres, à l'unité près.