1. **Énoncé du problème :** Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point $A(1,0,1)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(0,2,1)$ et $\vec{v}(1,-1,0)$. 2. **Formule et règles importantes :** Un plan passant par un point $A(x_0,y_0,z_0)$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ a pour équation cartésienne : $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$ avec $\vec{n} = (a,b,c) = \vec{u} \times \vec{v}$, le vecteur normal au plan. 3. **Calcul du vecteur normal $\vec{n}$ :** $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \times 0 - 1 \times (-1))\vec{i} - (0 \times 0 - 1 \times 1)\vec{j} + (0 \times (-1) - 2 \times 1)\vec{k}$$ $$= (0 + 1)\vec{i} - (0 - 1)\vec{j} + (0 - 2)\vec{k} = (1,1,-2)$$ 4. **Équation du plan :** $$1(x - 1) + 1(y - 0) - 2(z - 1) = 0$$ $$x - 1 + y - 2z + 2 = 0$$ $$x + y - 2z + 1 = 0$$ **Réponse 1 :** L'équation cartésienne du plan est $$x + y - 2z + 1 = 0$$. --- 1. **Énoncé du problème :** Déterminer une équation cartésienne du plan parallèle au plan précédent et contenant le point $B(0,1,0)$. 2. **Rappel :** Un plan parallèle a le même vecteur normal. Donc l'équation est de la forme : $$x + y - 2z + d = 0$$ 3. **Calcul de $d$ en utilisant le point $B$ :** $$0 + 1 - 2 \times 0 + d = 0 \Rightarrow 1 + d = 0 \Rightarrow d = -1$$ **Réponse 2 :** L'équation du plan parallèle est $$x + y - 2z - 1 = 0$$. --- 1. **Énoncé du problème :** Déterminer une représentation cartésienne de la droite passant par $C(-1,0,2)$ et parallèles aux plans d'équations $$3x - 2y + z - 5 = 0$$ et $$x - y - z = 0$$. 2. **Rappel :** Une droite parallèle à deux plans est dirigée par le vecteur orthogonal aux deux vecteurs normaux des plans. 3. **Vecteurs normaux des plans :** $$\vec{n_1} = (3, -2, 1), \quad \vec{n_2} = (1, -1, -1)$$ 4. **Vecteur directeur de la droite :** $$\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (-2 \times (-1) - 1 \times (-1))\vec{i} - (3 \times (-1) - 1 \times 1)\vec{j} + (3 \times (-1) - (-2) \times 1)\vec{k}$$ $$= (2 + 1)\vec{i} - (-3 - 1)\vec{j} + (-3 + 2)\vec{k} = (3, 4, -1)$$ 5. **Équation paramétrique de la droite :** $$\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 0 + 4t \\ z = 2 - t \end{cases}$$ **Réponse 3 :** La droite est donnée par $$\left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 3t \\ y = 4t \\ z = 2 - t \end{array} \right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$.