1. **Énoncé du problème 11** : Nous avons un prisme rectangulaire avec des dimensions $x$ cm, $(x-4)$ cm, et $(x+8)$ cm, et un cube avec une arête de longueur $x$ cm. Ces deux solides ont des volumes égaux. Trouvons $x$ et les dimensions des solides. 2. **Formule du volume** : - Volume du prisme rectangulaire : $$V_{prisme} = x \times (x-4) \times (x+8)$$ - Volume du cube : $$V_{cube} = x^3$$ 3. **Équation d'égalité des volumes** : $$x \times (x-4) \times (x+8) = x^3$$ 4. **Développons le produit à gauche** : $$x \times (x^2 + 8x - 4x - 32) = x^3$$ $$x \times (x^2 + 4x - 32) = x^3$$ $$x^3 + 4x^2 - 32x = x^3$$ 5. **Soustrayons $x^3$ des deux côtés** : $$x^3 + 4x^2 - 32x - x^3 = 0$$ $$4x^2 - 32x = 0$$ 6. **Factorisons** : $$4x(x - 8) = 0$$ 7. **Résolvons pour $x$** : - $4x = 0 \Rightarrow x = 0$ (non valide car dimension) - $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$ 8. **Dimensions des solides** : - Prisme : $x = 8$ cm, $(x-4) = 4$ cm, $(x+8) = 16$ cm - Cube : arête $8$ cm --- 9. **Énoncé du problème 12** : Trouver le périmètre du triangle $BCD$ avec les données : - $AC \parallel DF$ - $AE \parallel BD$ - $EF = 10$ cm - $AF = 30$ cm - $DF = 20$ cm - $DE = 15$ cm 10. **Analyse** : - Puisque $AE \parallel BD$ et $AC \parallel DF$, les segments forment des parallélogrammes et triangles semblables. - $AE = AF + EF = 30 + 10 = 40$ cm - $BD$ est parallèle à $AE$, donc $BD = AE = 40$ cm 11. **Calcul du périmètre de $\triangle BCD$** : - Côtés : $BC$, $CD$, $BD$ - $BD = 40$ cm - $CD = DE + DF = 15 + 20 = 35$ cm 12. **Trouvons $BC$** : - Par la propriété des parallèles et triangles semblables, $BC = AF = 30$ cm 13. **Périmètre** : $$P = BC + CD + BD = 30 + 35 + 40 = 105$$ cm **Réponses finales** : - $x = 8$ cm - Dimensions prisme : $8$ cm, $4$ cm, $16$ cm - Dimensions cube : $8$ cm - Périmètre $\triangle BCD = 105$ cm