1. **Énoncé du problème :** Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ dans chaque cas donné. 2. **Rappel de la formule du produit scalaire :** - Si $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, alors $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \times |AC| \times \cos(\theta)$$ - Si les vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire est nul. - Si on connaît les coordonnées des points, on peut calculer directement : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (x_B - x_A)(x_C - x_A) + (y_B - y_A)(y_C - y_A)$$ --- ### a) Triangle rectangle en A, $AB=5$. 3. Dans un triangle rectangle en A, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$ --- ### b) Triangle rectangle en B, $AB=3$. 4. Ici, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux. On veut $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. On sait que $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$ Donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$$ Comme $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$. Donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB|^2 = 3^2 = 9$$ --- ### c) Triangle avec $AB=6$, $AC=5$, $BC=8$. 5. Utilisons la formule de la loi des cosinus pour trouver $\cos(\theta)$ où $\theta = \widehat{BAC}$ : $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\theta)$$ Donc $$\cos(\theta) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} = \frac{6^2 + 5^2 - 8^2}{2 \times 6 \times 5} = \frac{36 + 25 - 64}{60} = \frac{-3}{60} = -0.05$$ 6. Le produit scalaire est alors $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 5 \times (-0.05) = -1.5$$ --- ### d) Triangle avec $AB=6$, $AC=5$, et $\widehat{BAC} = 30^\circ$. 7. Utilisons la formule directe : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \times |AC| \times \cos(30^\circ) = 6 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \sqrt{3} \approx 25.98$$ --- ### e) Triangle dans un repère orthonormé avec $A(-2,2)$, $B(2,1)$, $C(-2,-1)$. 8. Calculons les vecteurs : $$\overrightarrow{AB} = (2 - (-2), 1 - 2) = (4, -1)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-2 - (-2), -1 - 2) = (0, -3)$$ 9. Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 0 + (-1) \times (-3) = 0 + 3 = 3$$ --- **Réponses finales :** - a) $0$ - b) $9$ - c) $-1.5$ - d) $15 \sqrt{3} \approx 25.98$ - e) $3$