1. **Énoncé du problème** : Calculer les produits scalaires suivants dans le rectangle ABCD de centre F, avec E symétrique de F par rapport à la droite (BC). 2. **Rappel des propriétés** : - Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. - Dans un rectangle, les côtés adjacents sont perpendiculaires. - Le centre F est le milieu de la diagonale, donc $\vec{F}$ est le point moyen de $\vec{A}$ et $\vec{C}$, ou de $\vec{B}$ et $\vec{D}$. - Le point E est le symétrique de F par rapport à la droite (BC), donc $\vec{E}$ est obtenu par réflexion de $\vec{F}$ sur (BC). 3. **Définition des vecteurs selon le repère** : Posons $\vec{AB} = \vec{i}$ et $\vec{BC} = \vec{j}$, avec $||\vec{i}|| = a$ et $||\vec{j}|| = b$ (longueurs des côtés du rectangle). 4. **Calcul des vecteurs nécessaires** : - $\vec{BA} = -\vec{i}$ - $\vec{BE} = \vec{E} - \vec{B}$ - $\vec{CF} = \vec{F} - \vec{C}$ - $\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = -\vec{j}$ - $\vec{AF} = \vec{F} - \vec{A}$ - $\vec{AB} = \vec{i}$ - $\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B}$ - $\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \vec{j}$ 5. **Coordonnées des points** (en prenant A en origine) : - $\vec{A} = (0,0)$ - $\vec{B} = (a,0)$ - $\vec{C} = (a,b)$ - $\vec{D} = (0,b)$ - $\vec{F} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$ 6. **Calcul de $\vec{E}$** : E est le symétrique de F par rapport à (BC). La droite (BC) est verticale en $x=a$, donc la réflexion de $\vec{F} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$ par rapport à $x=a$ est : $$\vec{E} = \left(2a - \frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ 7. **Calcul des produits scalaires** : **a) $\vec{BA} \cdot \vec{BE}$** $$\vec{BA} = ( -a, 0 ), \quad \vec{BE} = \vec{E} - \vec{B} = \left(\frac{3a}{2} - a, \frac{b}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ $$\vec{BA} \cdot \vec{BE} = (-a) \times \frac{a}{2} + 0 \times \frac{b}{2} = -\frac{a^2}{2}$$ **b) $\vec{CF} \cdot \vec{CD}$** $$\vec{CF} = \vec{F} - \vec{C} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{b}{2} - b\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$$ $$\vec{CD} = (0 - a, b - b) = (-a, 0)$$ $$\vec{CF} \cdot \vec{CD} = \left(-\frac{a}{2}\right)(-a) + \left(-\frac{b}{2}\right)(0) = \frac{a^2}{2}$$ **c) $\vec{AF} \cdot \vec{AB}$** $$\vec{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right), \quad \vec{AB} = (a, 0)$$ $$\vec{AF} \cdot \vec{AB} = \frac{a}{2} \times a + \frac{b}{2} \times 0 = \frac{a^2}{2}$$ **d) $\vec{AB} \cdot \vec{BE}$** $$\vec{AB} = (a, 0), \quad \vec{BE} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{BE} = a \times \frac{a}{2} + 0 \times \frac{b}{2} = \frac{a^2}{2}$$ **e) $\vec{BF} \cdot \vec{DC}$** $$\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{b}{2} - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ $$\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (a - 0, b - b) = (a, 0)$$ $$\vec{BF} \cdot \vec{DC} = \left(-\frac{a}{2}\right) \times a + \frac{b}{2} \times 0 = -\frac{a^2}{2}$$ **f) $\vec{AF} \cdot \vec{BE}$** $$\vec{AF} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right), \quad \vec{BE} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ $$\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} + \frac{b}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{4}$$ 8. **Réponses finales** : - a) $-\frac{a^2}{2}$ - b) $\frac{a^2}{2}$ - c) $\frac{a^2}{2}$ - d) $\frac{a^2}{2}$ - e) $-\frac{a^2}{2}$ - f) $\frac{a^2 + b^2}{4}$