1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle équilatéral ABC avec I milieu de [BC] et K milieu de [IA]. On définit les vecteurs $\mathbf{U} = \overrightarrow{IA}$, $\mathbf{V} = \overrightarrow{BC}$ et l'angle $O = \widehat{ABC}$. Calculer : - $\frac{1}{2}(\|\mathbf{U}\|^2 + \|\mathbf{V}\|^2)$ et en déduire $\|\mathbf{U}\|$. - $\|\mathbf{U}\| \cdot \|\mathbf{V}\| \cdot \cos O$. - Les produits scalaires $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BI}$, $\mathbf{BK} \cdot \mathbf{KI}$, $\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC}$. --- 2. **Rappel et formules importantes :** - Dans un triangle équilatéral de côté $a$, tous les côtés ont la même longueur : $AB = BC = AC = a$. - Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ a une norme $\|\mathbf{V}\| = a$. - Le milieu $I$ de $[BC]$ implique $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. - Le milieu $K$ de $[IA]$ implique $\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BI} + \frac{1}{2} \overrightarrow{IA}$. - Le produit scalaire $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \|\mathbf{x}\| \|\mathbf{y}\| \cos \theta$ où $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$. --- 3. **Calcul de $\frac{1}{2}(\|\mathbf{U}\|^2 + \|\mathbf{V}\|^2)$ et $\|\mathbf{U}\|$ :** - $\mathbf{U} = \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{I}$. - Puisque $I$ est milieu de $[BC]$, $\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$. - Dans un triangle équilatéral, $\|\overrightarrow{BC}\| = a$. - Calculons $\|\mathbf{U}\|$ : $$\|\mathbf{U}\| = \|\overrightarrow{IA}\| = \left\| \overrightarrow{A} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \right\|$$ - En coordonnées ou par propriétés géométriques, on trouve que $\|\mathbf{U}\| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$. - Donc : $$\frac{1}{2}(\|\mathbf{U}\|^2 + \|\mathbf{V}\|^2) = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3a^2}{4} + a^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7a^2}{4} = \frac{7a^2}{8}$$ --- 4. **Calcul de $\|\mathbf{U}\| \cdot \|\mathbf{V}\| \cdot \cos O$ :** - L'angle $O = \widehat{ABC}$ dans un triangle équilatéral est $60^\circ$. - Donc $\cos O = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. - On a $\|\mathbf{U}\| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ et $\|\mathbf{V}\| = a$. $$\|\mathbf{U}\| \cdot \|\mathbf{V}\| \cdot \cos O = \frac{a \sqrt{3}}{2} \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ --- 5. **Calcul des produits scalaires :** - $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BI}$ : - $\mathbf{BI} = \frac{1}{2} \mathbf{BC}$ - $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BI} = \mathbf{AB} \cdot \frac{1}{2} \mathbf{BC} = \frac{1}{2} (\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC})$ - Dans un triangle équilatéral, $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = \|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{BC}\| \cos 60^\circ = a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$ - Donc $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BI} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$ - $\mathbf{BK} \cdot \mathbf{KI}$ : - $\mathbf{BK} = \mathbf{BI} + \frac{1}{2} \mathbf{IA} = \frac{1}{2} \mathbf{BC} + \frac{1}{2} \mathbf{U}$ - $\mathbf{KI} = \mathbf{I} - \mathbf{K} = - \frac{1}{2} \mathbf{IA} = - \frac{1}{2} \mathbf{U}$ - Donc $$\mathbf{BK} \cdot \mathbf{KI} = \left( \frac{1}{2} \mathbf{BC} + \frac{1}{2} \mathbf{U} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} \mathbf{U} \right) = - \frac{1}{4} (\mathbf{BC} \cdot \mathbf{U} + \mathbf{U} \cdot \mathbf{U})$$ - $\mathbf{U} \cdot \mathbf{U} = \|\mathbf{U}\|^2 = \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3a^2}{4}$ - $\mathbf{BC} \cdot \mathbf{U} = \mathbf{V} \cdot \mathbf{U}$, dans un triangle équilatéral, $\mathbf{U}$ et $\mathbf{V}$ sont perpendiculaires donc produit scalaire nul. - Donc $\mathbf{BK} \cdot \mathbf{KI} = - \frac{1}{4} \times \frac{3a^2}{4} = - \frac{3a^2}{16}$ - $\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC}$ : - $\|\mathbf{AC}\| = \|\mathbf{BC}\| = a$ - L'angle entre $\mathbf{AC}$ et $\mathbf{BC}$ est $60^\circ$ - Donc $$\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC} = a \times a \times \cos 60^\circ = a^2 \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$$ --- **Réponses finales :** - $\frac{1}{2}(\|\mathbf{U}\|^2 + \|\mathbf{V}\|^2) = \frac{7a^2}{8}$ - $\|\mathbf{U}\| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ - $\|\mathbf{U}\| \cdot \|\mathbf{V}\| \cdot \cos O = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ - $\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BI} = \frac{a^2}{4}$ - $\mathbf{BK} \cdot \mathbf{KI} = - \frac{3a^2}{16}$ - $\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BC} = \frac{a^2}{2}$