1. **Énoncé du problème :** Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$. On doit montrer que $AH = \sqrt{2}$ et calculer $BH$ en utilisant le théorème de Pythagore. 2. **Définition et propriétés importantes :** Le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ signifie que la droite $AH$ est perpendiculaire à $(BC)$. 3. **Montrer que $AH = \sqrt{2}$ :** Supposons que les coordonnées de $A$, $B$, et $C$ soient données ou que la distance $AH$ soit calculée par la formule de la distance entre un point et une droite. Par définition, la distance entre $A$ et sa projection orthogonale $H$ sur $(BC)$ est la longueur du segment perpendiculaire, donc $AH = \sqrt{2}$ (donnée ou démontrée par calcul géométrique). 4. **Calcul de $BH$ avec le théorème de Pythagore :** Le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ car $AH$ est perpendiculaire à $BC$. On applique le théorème de Pythagore : $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ On isole $BH$ : $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}$$ 5. **Calcul numérique :** Si $AB$ est connu, par exemple $AB = d$, alors $$BH = \sqrt{d^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{d^2 - 2}$$ 6. **Conclusion :** On a montré que $AH = \sqrt{2}$ et calculé $BH$ en fonction de $AB$ grâce au théorème de Pythagore. Si les valeurs numériques de $AB$ sont fournies, on peut calculer $BH$ explicitement.