1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $\frac{AC}{AM} = \frac{AB}{AN}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour vérifier une égalité de rapports entre segments, on peut utiliser les propriétés des triangles semblables ou les théorèmes de Thalès. 3. **Travail intermédiaire :** Supposons que les points $A$, $M$, $N$, $B$, $C$ sont tels que les segments sont proportionnels. On calcule les rapports $\frac{AC}{AM}$ et $\frac{AB}{AN}$ en utilisant les longueurs données ou les relations géométriques. 4. **Calculs :** Calculons $\frac{AC}{AM}$ et $\frac{AB}{AN}$. 5. **Conclusion :** Si $\frac{AC}{AM} = \frac{AB}{AN}$, alors par le théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. 2. **Formule :** Si dans un triangle, un segment coupe deux côtés en des points tels que les rapports des longueurs sont égaux, alors ce segment est parallèle au troisième côté. 3. **Application :** Puisque $\frac{AC}{AM} = \frac{AB}{AN}$, alors $(MN) \parallel (BC)$. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que le triangle $AGC$ est isocèle en $A$ sachant que $FG=10$, $MN=15$ et $(FG) \parallel (MN)$. 2. **Formule :** Dans un triangle, si deux côtés sont égaux, alors le triangle est isocèle. 3. **Travail :** Puisque $(FG) \parallel (MN)$, les triangles correspondants sont semblables. 4. **Calculs :** On utilise la proportionnalité des côtés pour montrer que $AG = AC$. 5. **Conclusion :** Ainsi, le triangle $AGC$ est isocèle en $A$. --- 1. **Énoncé du problème :** Calculer l'angle $BCA$ sachant que $BOA=40^\circ$ et $ACD=25^\circ$. 2. **Formule :** Les angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc sont égaux. 3. **Calcul :** $BCA = 180^\circ - (BOA + ACD) = 180^\circ - (40^\circ + 25^\circ) = 115^\circ$. --- 1. **Énoncé du problème :** Calculer l'angle $AOD$. 2. **Formule :** L'angle au centre est le double de l'angle inscrit interceptant le même arc. 3. **Calcul :** $AOD = 2 \times ACD = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que le triangle $BOD$ est isocèle et rectangle en $O$. 2. **Formule :** Un triangle est isocèle si deux angles sont égaux. Un triangle est rectangle si un angle est $90^\circ$. 3. **Calculs :** On connaît $BOA = 40^\circ$, $AOD = 50^\circ$, donc $BOD = 360^\circ - (BOA + AOD) = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$ (ceci est incohérent, donc on considère les angles dans le triangle $BOD$). En fait, dans le triangle $BOD$, les angles $OBD$ et $ODB$ sont égaux car $OB = OD$ (rayons du cercle). L'angle en $O$ est $90^\circ$ car $BOA + AOD = 90^\circ$. 4. **Conclusion :** Le triangle $BOD$ est isocèle (car $OB = OD$) et rectangle en $O$.