1. Énoncé du problème : On considère un carré ABCD de côté 9 cm. Deux cercles sont construits à l'intérieur du carré, l'un de centre C, l'autre de centre D. Le cercle de centre D a un rayon quatre fois plus grand que celui de centre C. 2. Formule utilisée : Pour calculer les rayons, on utilisera le théorème de Pythagore qui dit que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 3. Analyse et construction : Soit $r$ le rayon du cercle de centre C. Le rayon du cercle de centre D est donc $4r$. 4. Position des centres : Le carré ABCD a un côté de 9 cm. Supposons que C est en bas à gauche (0,0) et D en haut à droite (9,9). 5. Calcul de la distance entre C et D : $$CD = \sqrt{(9-0)^2 + (9-0)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$$ 6. Les cercles sont à l'intérieur du carré et ne doivent pas dépasser les côtés. Le cercle de centre C a un rayon $r$. Le cercle de centre D a un rayon $4r$. 7. Pour que les cercles soient tangents ou ne se chevauchent pas, la somme des rayons doit être inférieure ou égale à la distance entre les centres : $$r + 4r \leq 9\sqrt{2}$$ $$5r \leq 9\sqrt{2}$$ $$r \leq \frac{9\sqrt{2}}{5}$$ 8. Calcul du rayon de C : $$r = \frac{9\sqrt{2}}{5} \approx \frac{9 \times 1.414}{5} = \frac{12.726}{5} = 2.5452 \text{ cm}$$ 9. Calcul du rayon de D : $$4r = 4 \times 2.5452 = 10.1808 \text{ cm}$$ 10. Conclusion : Le rayon du cercle de centre C est environ 2.55 cm. Le rayon du cercle de centre D est environ 10.18 cm.