1. **Énoncé du problème** : Comparer les longueurs totales des sentiers A et B pour vérifier si elles sont équivalentes à la dizaine de mètres près. 2. **Données** : - Sentier A : deux segments de 189 m et 144 m formant un angle de $180^\circ - (75^\circ + 82^\circ) = 23^\circ$ entre eux. - Sentier B : deux segments de 100 m et 250 m, longueur totale simple. 3. **Calcul de la longueur du sentier A** : Le sentier A forme un triangle avec deux côtés connus et l'angle entre eux. La longueur totale est la somme des deux segments plus la distance entre leurs extrémités, que l'on calcule avec la loi des cosinus. Soit $c$ la distance entre les extrémités des deux segments : $$c = \sqrt{189^2 + 144^2 - 2 \times 189 \times 144 \times \cos(23^\circ)}$$ Calculons $c$ : $$c = \sqrt{35721 + 20736 - 2 \times 189 \times 144 \times \cos(23^\circ)}$$ $$= \sqrt{56457 - 54432 \times \cos(23^\circ)}$$ $$\cos(23^\circ) \approx 0.9205$$ $$= \sqrt{56457 - 54432 \times 0.9205} = \sqrt{56457 - 50100} = \sqrt{6357} \approx 79.74$$ 4. **Longueur totale du sentier A** : $$189 + 144 + 79.74 = 412.74 \text{ m}$$ 5. **Longueur totale du sentier B** : $$100 + 250 = 350 \text{ m}$$ 6. **Comparaison** : La différence est : $$412.74 - 350 = 62.74 \text{ m}$$ 7. **Conclusion** : La différence est supérieure à 10 m, donc les sentiers ne sont pas équivalents à la dizaine de mètres près.