1. **Énoncé du problème :** Soit le triangle rectangle $RST$ en $R$, $O$ le milieu de $[ST]$, $A$ l'image de $R$ par la symétrie orthogonale d'axe $(ST)$, et $K$ l'image de $A$ par la symétrie de centre $O$. 2. **Question a) : Quelle est l'image par la symétrie orthogonale d'axe $(ST)$ du triangle $RST$ ?** - La symétrie orthogonale d'axe $(ST)$ laisse les points de $(ST)$ invariants. - $R$ est projeté en $A$ par cette symétrie. - $S$ et $T$ restent fixes car ils sont sur l'axe. - Donc, l'image du triangle $RST$ est le triangle $AST$. 3. **Question b) : Quelle est la nature du quadrilatère $ASKT$ ?** - $K$ est l'image de $A$ par la symétrie de centre $O$, donc $O$ est le milieu de $[AK]$. - $O$ est aussi le milieu de $[ST]$. - Ainsi, $ASKT$ a ses diagonales $[AT]$ et $[SK]$ qui se coupent en leur milieu $O$. - Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. - Donc, $ASKT$ est un parallélogramme. 4. **Question c) : Démontre que $A$, $S$, $T$, $K$ et $R$ sont situés sur un même cercle.** - $R$ et $A$ sont symétriques par rapport à $(ST)$, donc $[RA]$ est perpendiculaire à $(ST)$ en $O$. - $O$ est le milieu de $[ST]$ et de $[AK]$. - Le quadrilatère $ASKT$ est un parallélogramme. - Les points $A$, $S$, $T$, $K$ forment un parallélogramme inscrit dans un cercle si et seulement si c'est un rectangle. - Comme $RST$ est rectangle en $R$, et $A$ est symétrique de $R$ par rapport à $(ST)$, $ASKT$ est un rectangle. - Un rectangle est un quadrilatère cyclique. - De plus, $R$ est sur la perpendiculaire à $(ST)$ passant par $O$, donc $R$ est aussi sur le cercle circonscrit à $ASKT$. - Ainsi, $A$, $S$, $T$, $K$ et $R$ sont cocycliques. **Réponse finale :** - a) L'image du triangle $RST$ par la symétrie d'axe $(ST)$ est le triangle $AST$. - b) Le quadrilatère $ASKT$ est un parallélogramme (plus précisément un rectangle). - c) Les points $A$, $S$, $T$, $K$ et $R$ sont situés sur un même cercle (sont cocycliques).