1. **Énoncé du problème** : Nous avons un cercle centré à l'origine $O(0,0)$. Les points $A(12,5)$ et $B(5,-12)$ sont les points de tangence des deux tangentes au cercle. Le point $C$ est l'intersection de ces deux tangentes. 2. **Équation du cercle** : Le cercle est centré à l'origine, donc son équation est $$x^2 + y^2 = r^2$$ où $r$ est le rayon. 3. **Calcul du rayon** : Le rayon est la distance du centre $O$ à un point sur le cercle, par exemple $A$. $$r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ Donc, l'équation du cercle est $$x^2 + y^2 = 169$$ 4. **Trouver les équations des tangentes en $A$ et $B$** : La tangente en un point $P(x_0,y_0)$ sur le cercle $x^2 + y^2 = r^2$ a pour équation : $$x x_0 + y y_0 = r^2$$ Pour $A(12,5)$ : $$12x + 5y = 169$$ Pour $B(5,-12)$ : $$5x - 12y = 169$$ 5. **Trouver le point d'intersection $C$ des deux tangentes** : Résolvons le système : $$\begin{cases} 12x + 5y = 169 \\ 5x - 12y = 169 \end{cases}$$ Multiplions la première équation par 12 et la deuxième par 5 pour éliminer $y$ : $$\begin{cases} 144x + 60y = 2028 \\ 25x - 60y = 845 \end{cases}$$ Additionnons : $$144x + 25x + 60y - 60y = 2028 + 845$$ $$169x = 2873$$ $$x = \frac{2873}{169} = 17$$ Substituons $x=17$ dans la première équation : $$12(17) + 5y = 169$$ $$204 + 5y = 169$$ $$5y = 169 - 204 = -35$$ $$y = \frac{-35}{5} = -7$$ Donc, $C(17, -7)$. **Réponse finale** : - Coordonnées du point $C$ : $\boxed{(17, -7)}$ - Équation du cercle : $\boxed{x^2 + y^2 = 169}$