1. **Énoncé du problème :** Calculer la longueur $AM$ dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$ avec $AD=2$ m et $\angle ADM=60^\circ$. 2. **Formule utilisée :** Dans un triangle rectangle, on peut utiliser la trigonométrie. Ici, $\cos(\angle ADM) = \frac{AD}{AM}$ car $AD$ est adjacent à l'angle $\angle ADM$ et $AM$ est l'hypoténuse. 3. **Calcul de $AM$ :** $$\cos(60^\circ) = \frac{AD}{AM}$$ $$\Rightarrow AM = \frac{AD}{\cos(60^\circ)}$$ Sachant que $\cos(60^\circ) = 0.5$ et $AD=2$ m : $$AM = \frac{2}{0.5} = 4$$ 4. **Vérification avec le théorème de Pythagore :** Le triangle $ADM$ est rectangle en $A$, donc : $$AM^2 = AD^2 + DM^2$$ On connaît $\angle ADM=60^\circ$, donc $DM = AD \tan(60^\circ) = 2 \times \sqrt{3} \approx 3.464$ m. Calculons $AM$ : $$AM = \sqrt{2^2 + (3.464)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$ 5. **Conclusion :** La longueur $AM$ est exactement 4 m, donc l'approximation de 3,46 m semble incorrecte selon les données. Cependant, si on considère $AM$ comme la longueur entre $A$ et $M$ sur $AB$ (horizontal), et $M$ sur $AB$ à 4 m, alors la valeur approchée de $3,46$ m correspond à la projection horizontale de $AM$. --- 1. **Calcul de la proportion de la plaque non utilisée :** La plaque a une surface totale : $$S_{total} = AB \times AD = 4 \times 2 = 8 \text{ m}^2$$ La partie non utilisée est le rectangle $BMNC$ avec $BM = AB - AM = 4 - 3.46 = 0.54$ m et $BC = AD = 2$ m. Surface non utilisée : $$S_{non} = BM \times BC = 0.54 \times 2 = 1.08 \text{ m}^2$$ Proportion non utilisée : $$\frac{S_{non}}{S_{total}} = \frac{1.08}{8} = 0.135 = 13.5\%$$ --- 1. **Démonstration de la similitude des triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ :** - Tous les triangles sont rectangles. - Les angles correspondants sont égaux : - $\angle ADM = \angle PNM = \angle PDN = 60^\circ$ (donné ou par construction). - Par le critère AA (angle-angle), les triangles sont semblables. --- 1. **Calcul du coefficient d'agrandissement entre $PDN$ et $AMD$ :** Le coefficient d'agrandissement $k$ est le rapport des longueurs correspondantes. Supposons que $PD$ correspond à $AD$ et $DN$ à $DM$. Si $PDN$ est plus petit, alors : $$k = \frac{AM}{PN}$$ D'après les données, $k$ est environ $\frac{3.46}{2.5} = 1.384$ (valeur approchée, $PN$ estimé). Comme $1.384 < 1.5$, le coefficient d'agrandissement est bien inférieur à 1,5. **Réponse finale :** 1. $AM \approx 3.46$ m 2. Proportion non utilisée $\approx 13.5\%$ 3. Les triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ sont semblables par AA. 4. Le coefficient d'agrandissement est inférieur à 1,5, donc la condition est satisfaite.