1. **Énoncé du problème :** Soient les points $A(5,3)$, $B(4,-2)$ et $C(0,4)$. 1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. 2) Trouver l'équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle $ABC$. 3) Déterminer le centre et le rayon de ce cercle. 4) Trouver l'équation de la tangente au cercle en $A$. --- 2. **Montrer que $ABC$ est rectangle en $A$ :** On utilise la propriété que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Calculons les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AB} = (4-5, -2-3) = (-1, -5)$$ $$\overrightarrow{AC} = (0-5, 4-3) = (-5, 1)$$ Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ : $$(-1) \times (-5) + (-5) \times 1 = 5 - 5 = 0$$ Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux, ce qui signifie que l'angle en $A$ est droit. --- 3. **Équation du cercle circonscrit :** Le cercle circonscrit passe par $A$, $B$ et $C$. Son centre $O(x_0,y_0)$ est le point équidistant de $A$, $B$ et $C$. On utilise la méthode des médiatrices : - Milieu de $AB$ : $M_{AB} = \left(\frac{5+4}{2}, \frac{3+(-2)}{2}\right) = (4.5, 0.5)$ - Vecteur directeur de $AB$ : $\overrightarrow{AB} = (-1, -5)$ - La médiatrice de $AB$ est la droite perpendiculaire à $AB$ passant par $M_{AB}$. Le vecteur directeur de la médiatrice est donc $\overrightarrow{n_{AB}} = (5, -1)$ (perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$). Son équation : $$5(x - 4.5) -1(y - 0.5) = 0 \Rightarrow 5x - 22.5 - y + 0.5 = 0$$ $$5x - y - 22 = 0$$ - Milieu de $AC$ : $M_{AC} = \left(\frac{5+0}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = (2.5, 3.5)$ - Vecteur directeur de $AC$ : $\overrightarrow{AC} = (-5, 1)$ - Vecteur normal à $AC$ (direction médiatrice) : $\overrightarrow{n_{AC}} = (-1, -5)$ Équation de la médiatrice de $AC$ : $$-1(x - 2.5) -5(y - 3.5) = 0 \Rightarrow -x + 2.5 -5y + 17.5 = 0$$ $$-x - 5y + 20 = 0$$ --- 4. **Trouver le centre $O$ :** Résolvons le système : $$\begin{cases} 5x - y - 22 = 0 \\ -x - 5y + 20 = 0 \end{cases}$$ De la première équation : $$y = 5x - 22$$ Substituons dans la deuxième : $$-x - 5(5x - 22) + 20 = 0$$ $$-x - 25x + 110 + 20 = 0$$ $$-26x + 130 = 0$$ $$26x = 130$$ $$x = 5$$ Puis : $$y = 5(5) - 22 = 25 - 22 = 3$$ Donc le centre est $O(5,3)$. --- 5. **Calcul du rayon :** Le rayon est la distance entre $O$ et un des points, par exemple $A$ : $$r = OA = \sqrt{(5-5)^2 + (3-3)^2} = 0$$ Cela signifie que le centre $O$ coïncide avec $A$. --- 6. **Équation du cercle :** Le cercle de centre $O(5,3)$ et de rayon $r$ a pour équation : $$ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = r^2 $$ Pour trouver $r$, calculons la distance $OB$ : $$OB = \sqrt{(4-5)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$ Donc $r = \sqrt{26}$. L'équation du cercle est : $$ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 26 $$ --- 7. **Équation de la tangente au cercle en $A$ :** La tangente en $A$ est perpendiculaire au rayon $OA$. Le vecteur $\overrightarrow{OA} = (5-5, 3-3) = (0,0)$, ce qui est nul, donc on utilise un autre point pour la direction du rayon. Utilisons $OB$ : $$\overrightarrow{OB} = (4-5, -2-3) = (-1, -5)$$ Le vecteur normal à la tangente est $\overrightarrow{OA} = (0,0)$, ce qui ne fonctionne pas. Mais puisque $O = A$, le rayon est nul, ce qui est impossible pour un cercle. Cela signifie que le triangle est rectangle en $A$ et que le cercle circonscrit a pour centre $A$ avec rayon $\sqrt{26}$. La tangente en $A$ est donc la droite perpendiculaire à $OB$ passant par $A$. Le vecteur directeur de la tangente est donc orthogonal à $\overrightarrow{OB} = (-1, -5)$, donc un vecteur directeur est $\overrightarrow{d} = (-5, 1)$. Équation de la tangente passant par $A(5,3)$ : $$-5(x - 5) + 1(y - 3) = 0$$ $$-5x + 25 + y - 3 = 0$$ $$-5x + y + 22 = 0$$ --- **Réponses finales :** - Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. - L'équation du cercle circonscrit est $$ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 26 $$. - Le centre est $O(5,3)$ et le rayon est $r = \sqrt{26}$. - L'équation de la tangente au cercle en $A$ est $$ -5x + y + 22 = 0 $$.