1. **Énoncé du problème** : Dans le triangle RST, M est le milieu de [RS]. La droite (D) passant par M et parallèle à (ST) coupe [RT] en N. La droite (D') passant par M et parallèle à (RT) coupe [ST] en P. 2. **Objectifs** : - Montrer que P et N sont les milieux respectifs de [ST] et [RT]. - Montrer que le périmètre du triangle MPN est la moitié de celui de RST. 3. **Rappel de la propriété utilisée** : Dans un triangle, une droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu (théorème du milieu). 4. **Démonstration que N est le milieu de [RT]** : - M est le milieu de [RS]. - La droite (D) passe par M et est parallèle à (ST). - Par le théorème du milieu, (D) coupe [RT] en N, milieu de [RT]. 5. **Démonstration que P est le milieu de [ST]** : - M est le milieu de [RS]. - La droite (D') passe par M et est parallèle à (RT). - Par le théorème du milieu, (D') coupe [ST] en P, milieu de [ST]. 6. **Calcul du périmètre de MPN** : - Puisque P et N sont milieux, les segments [MP], [PN], et [NM] sont chacun parallèles et égaux à la moitié des côtés correspondants de RST. - Par conséquent, le périmètre de MPN est la somme de trois segments chacun égal à la moitié des côtés de RST. - Donc, $$P_{MPN} = \frac{1}{2} P_{RST}$$. **Réponse finale** : - P et N sont bien les milieux respectifs de [ST] et [RT]. - Le périmètre du triangle MPN est la moitié de celui du triangle RST.