1. **Énoncé du problème :** On considère le triangle OPM avec les longueurs des côtés : $OP=\sqrt{11}$, $PM=3$, $OM=2\sqrt{5}$. Il faut montrer que le triangle OPM est rectangle en P. 2. **Formule utilisée :** Pour montrer qu'un triangle est rectangle en un point, on utilise le théorème de Pythagore : $$\text{Si } OP^2 + PM^2 = OM^2, \text{ alors le triangle est rectangle en } P.$$ 3. **Calculs intermédiaires :** Calculons les carrés des longueurs : $$OP^2 = (\sqrt{11})^2 = 11,$$ $$PM^2 = 3^2 = 9,$$ $$OM^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20.$$ 4. **Vérification du théorème de Pythagore :** $$OP^2 + PM^2 = 11 + 9 = 20 = OM^2.$$ Cela montre que le triangle OPM est bien rectangle en P. 5. **Calcul de la distance $x = MN$ :** Le triangle MLN est rectangle en N avec $LM=15$ et $LN=7$. On applique le théorème de Pythagore : $$MN^2 = LM^2 - LN^2 = 15^2 - 7^2 = 225 - 49 = 176,$$ $$MN = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}.$$ 6. **Calcul de l'aire de l'hexagone OPMLN :** L'hexagone est composé de deux triangles rectangles OPM et MLN et du quadrilatère PMNL. - Aire du triangle OPM : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times OP \times PM = \frac{1}{2} \times \sqrt{11} \times 3 = \frac{3\sqrt{11}}{2}.$$ - Aire du triangle MLN : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times LN \times MN = \frac{1}{2} \times 7 \times 4\sqrt{11} = 14\sqrt{11}.$$ - Aire du quadrilatère PMNL : On peut le découper en deux rectangles ou calculer en utilisant les segments connus, mais ici on considère que l'aire totale est la somme des deux triangles plus le rectangle formé par PM et MN. Le segment PM = 3 et MN = $4\sqrt{11}$, donc aire du rectangle PMNL : $$3 \times 4\sqrt{11} = 12\sqrt{11}.$$ 7. **Aire totale de l'hexagone :** $$\text{Aire totale} = \frac{3\sqrt{11}}{2} + 14\sqrt{11} + 12\sqrt{11} = \frac{3\sqrt{11}}{2} + 26\sqrt{11} = \frac{3\sqrt{11} + 52\sqrt{11}}{2} = \frac{55\sqrt{11}}{2}.$$ **Réponse finale :** - Le triangle OPM est rectangle en P. - La distance $x = MN = 4\sqrt{11}$. - L'aire de l'hexagone OPMLN est $\frac{55\sqrt{11}}{2}$.