1. Énoncé du problème : Nous avons un triangle ABC avec AB = \sqrt{3}, AC = 2, BC = 1. 2. Montrer que ABC est un triangle rectangle : Utilisons le théorème de Pythagore qui dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Calculons les carrés des côtés : $$AB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$ $$AC^2 = 2^2 = 4$$ $$BC^2 = 1^2 = 1$$ Le plus grand côté est AC avec 4. Vérifions si $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$ : $$3 + 1 = 4$$ Ce qui est vrai, donc le triangle ABC est rectangle en B. 3. Calculer cos BÂC, sin BÂC et tan BÂC : L'angle BÂC est l'angle en A. Dans le triangle rectangle, cosinus, sinus et tangente d'un angle sont définis par : - $$\cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$$ - $$\sin(\theta) = \frac{opposé}{hypoténuse}$$ - $$\tan(\theta) = \frac{opposé}{adjacent}$$ Ici, l'angle en A a pour côtés adjacents AB et AC, et côté opposé BC. Donc : $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$$ $$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 4. Déduire cos ÂCB, sin ÂCB et tan ÂCB : L'angle ÂCB est l'angle en C. Dans le triangle rectangle, l'angle en C est complémentaire à l'angle en A, donc : $$\cos(\widehat{ACB}) = \sin(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2}$$ $$\sin(\widehat{ACB}) = \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\tan(\widehat{ACB}) = \frac{\sin(\widehat{ACB})}{\cos(\widehat{ACB})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$ 5. Calculer BD sachant que D est sur la demi-droite [AB) telle que DC = 3 : On sait que D est sur la droite passant par A et B, au-delà de B. Utilisons la distance DC = 3. Posons les coordonnées : - A en (0,0) - B en (\sqrt{3},0) car AB = \sqrt{3} sur l'axe x - C en (0,2) car AC = 2 sur l'axe y D est sur la droite passant par A et B, donc D a pour coordonnées (x,0) avec x > \sqrt{3}. Distance DC : $$DC = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{x^2 + 4} = 3$$ Élevons au carré : $$x^2 + 4 = 9$$ $$x^2 = 5$$ $$x = \sqrt{5}$$ (car x > \sqrt{3}) Donc, BD = distance entre B(\sqrt{3},0) et D(\sqrt{5},0) : $$BD = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$ C'est la longueur recherchée. Réponse finale : - Triangle ABC est rectangle en B. - $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\sin(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2}$$, $$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$. - $$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{1}{2}$$, $$\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\tan(\widehat{ACB}) = \sqrt{3}$$. - $$BD = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$.