1. **Énoncé du problème :** Un triangle rectangle a une hypoténuse de longueur $c$ et une aire $A$. Trouver les longueurs des deux autres côtés $a$ et $b$. 2. **Formules utilisées :** - Théorème de Pythagore : $$a^2 + b^2 = c^2$$ - Aire d'un triangle rectangle : $$A = \frac{1}{2}ab$$ 3. **Règles importantes :** - Les côtés $a$ et $b$ sont les deux côtés perpendiculaires. - On peut exprimer $b$ en fonction de $a$ à partir de l'aire : $$b = \frac{2A}{a}$$ - Substituer dans le théorème de Pythagore pour obtenir une équation en $a$. --- ### 1. Hypoténuse $c=109$ cm, aire $A=2730$ cm² 4. Exprimer $b$ : $$b = \frac{2 \times 2730}{a} = \frac{5460}{a}$$ 5. Appliquer Pythagore : $$a^2 + b^2 = 109^2 = 11881$$ $$a^2 + \left(\frac{5460}{a}\right)^2 = 11881$$ $$a^2 + \frac{5460^2}{a^2} = 11881$$ 6. Multiplier par $a^2$ pour éliminer le dénominateur : $$a^4 - 11881 a^2 + 5460^2 = 0$$ 7. Poser $x = a^2$, on obtient une équation quadratique : $$x^2 - 11881 x + 29811600 = 0$$ 8. Calcul du discriminant : $$\Delta = 11881^2 - 4 \times 29811600 = 141168161 - 119246400 = 21821761$$ 9. Racines : $$x = \frac{11881 \pm \sqrt{21821761}}{2}$$ $$\sqrt{21821761} = 4672.5$$ 10. Donc : $$x_1 = \frac{11881 + 4672.5}{2} = 8266.75$$ $$x_2 = \frac{11881 - 4672.5}{2} = 3604.25$$ 11. Calcul des côtés : $$a = \sqrt{8266.75} \approx 90.92$$ $$b = \frac{5460}{90.92} \approx 60.07$$ ou $$a = \sqrt{3604.25} \approx 60.04$$ $$b = \frac{5460}{60.04} \approx 90.94$$ Les deux solutions sont symétriques. --- ### 2. Hypoténuse $c=73$ cm, aire $A=1320$ cm² 12. Exprimer $b$ : $$b = \frac{2 \times 1320}{a} = \frac{2640}{a}$$ 13. Pythagore : $$a^2 + \left(\frac{2640}{a}\right)^2 = 73^2 = 5329$$ $$a^2 + \frac{2640^2}{a^2} = 5329$$ 14. Multiplier par $a^2$ : $$a^4 - 5329 a^2 + 6969600 = 0$$ 15. Poser $x = a^2$ : $$x^2 - 5329 x + 6969600 = 0$$ 16. Discriminant : $$\Delta = 5329^2 - 4 \times 6969600 = 28400041 - 27878400 = 521641$$ 17. Racines : $$x = \frac{5329 \pm \sqrt{521641}}{2}$$ $$\sqrt{521641} = 722.3$$ 18. Donc : $$x_1 = \frac{5329 + 722.3}{2} = 3025.65$$ $$x_2 = \frac{5329 - 722.3}{2} = 2303.35$$ 19. Calcul des côtés : $$a = \sqrt{3025.65} \approx 55.01$$ $$b = \frac{2640}{55.01} \approx 47.99$$ ou $$a = \sqrt{2303.35} \approx 48.00$$ $$b = \frac{2640}{48.00} \approx 55.00$$ --- ### 3. Hypoténuse $c=26$ cm, aire $A=120$ cm² 20. Exprimer $b$ : $$b = \frac{2 \times 120}{a} = \frac{240}{a}$$ 21. Pythagore : $$a^2 + \left(\frac{240}{a}\right)^2 = 26^2 = 676$$ $$a^2 + \frac{240^2}{a^2} = 676$$ 22. Multiplier par $a^2$ : $$a^4 - 676 a^2 + 57600 = 0$$ 23. Poser $x = a^2$ : $$x^2 - 676 x + 57600 = 0$$ 24. Discriminant : $$\Delta = 676^2 - 4 \times 57600 = 456976 - 230400 = 226576$$ 25. Racines : $$x = \frac{676 \pm \sqrt{226576}}{2}$$ $$\sqrt{226576} = 476.1$$ 26. Donc : $$x_1 = \frac{676 + 476.1}{2} = 576.05$$ $$x_2 = \frac{676 - 476.1}{2} = 99.95$$ 27. Calcul des côtés : $$a = \sqrt{576.05} \approx 24.00$$ $$b = \frac{240}{24.00} = 10.00$$ ou $$a = \sqrt{99.95} \approx 10.00$$ $$b = \frac{240}{10.00} = 24.00$$ --- **Réponses finales :** - Pour $c=109$, $A=2730$ : $a \approx 90.92$ cm, $b \approx 60.07$ cm - Pour $c=73$, $A=1320$ : $a \approx 55.01$ cm, $b \approx 47.99$ cm - Pour $c=26$, $A=120$ : $a = 24$ cm, $b = 10$ cm