1. **Énoncé du problème :** Montrer que le triangle OPM est rectangle en P, calculer la distance $x = MN$, puis calculer l'aire de l'hexagone OPMLN. 2. **Montrer que le triangle OPM est rectangle en P :** On a les longueurs : $$OP = \sqrt{11}, \quad PM = 3, \quad OM = 2\sqrt{5}.$$ Pour vérifier que le triangle est rectangle en P, on utilise le théorème de Pythagore : $$OP^2 + PM^2 \stackrel{?}{=} OM^2.$$ Calculons : $$OP^2 + PM^2 = (\sqrt{11})^2 + 3^2 = 11 + 9 = 20,$$ $$OM^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20.$$ Comme $OP^2 + PM^2 = OM^2$, le triangle OPM est rectangle en P. 3. **Calcul de la distance $x = MN$ :** Considérons le triangle MNL rectangle en N (car N est perpendiculaire). On connaît : $$LN = 7, \quad LM = 15, \quad MN = x.$$ Par le théorème de Pythagore : $$MN^2 + LN^2 = LM^2,$$ donc $$x^2 + 7^2 = 15^2,$$ $$x^2 + 49 = 225,$$ $$x^2 = 225 - 49 = 176,$$ $$x = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}.$$ 4. **Calcul de l'aire de l'hexagone OPMLN :** L'hexagone est formé par les points O, P, M, L, N. On peut le découper en deux triangles et un rectangle ou deux triangles et un trapèze. Ici, on découpe en : - Triangle OPM (rectangle en P) - Triangle MNL (rectangle en N) - Triangle PLN (à calculer) Calculons les aires : - Aire de $\triangle OPM$ : $$\frac{1}{2} \times OP \times PM = \frac{1}{2} \times \sqrt{11} \times 3 = \frac{3\sqrt{11}}{2}.$$ - Aire de $\triangle MNL$ : $$\frac{1}{2} \times MN \times LN = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{11} \times 7 = 14\sqrt{11}.$$ - Aire de $\triangle PLN$ : Le segment $PL$ est la somme de $PM$ et $ML$ : $$PL = PM + ML = 3 + 15 = 18.$$ Le triangle PLN est rectangle en N, donc son aire est : $$\frac{1}{2} \times LN \times PN,$$ mais $PN$ est la hauteur commune, ici égale à $PM = 3$ (car P, M, L alignés verticalement). Donc : $$\frac{1}{2} \times 7 \times 3 = \frac{21}{2} = 10.5.$$ Additionnons les aires : $$\text{Aire totale} = \frac{3\sqrt{11}}{2} + 14\sqrt{11} + 10.5 = \left(\frac{3}{2} + 14\right)\sqrt{11} + 10.5 = \frac{3 + 28}{2} \sqrt{11} + 10.5 = \frac{31}{2} \sqrt{11} + 10.5.$$ **Réponse finale :** - Le triangle OPM est rectangle en P. - La distance $x = MN = 4\sqrt{11}$. - L'aire de l'hexagone OPMLN est $$\frac{31}{2} \sqrt{11} + 10.5.$$