1. **Énoncé du problème 1 :** Résoudre le triangle quelconque donné par la relation $$\frac{25}{\sin 35^\circ} = \frac{7}{\sin 69^\circ}$$ et calculer la longueur $$l$$ avec la formule $$l = \frac{7 \times \sin 35^\circ}{\sin 62^\circ}$$. 2. **Formule utilisée :** La loi des sinus pour un triangle quelconque est $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ où $$a,b,c$$ sont les longueurs des côtés opposés aux angles $$A,B,C$$ respectivement. 3. **Calcul de $$l$$ :** $$l = \frac{7 \times \sin 35^\circ}{\sin 62^\circ}$$ 4. **Calcul intermédiaire :** $$\sin 35^\circ \approx 0.574\quad \text{et} \quad \sin 62^\circ \approx 0.883$$ 5. **Substitution :** $$l = \frac{7 \times 0.574}{0.883} = \frac{4.018}{0.883}$$ 6. **Simplification avec annulation :** $$l = \frac{\cancel{7} \times 0.574}{\cancel{0.883}} = 4.55$$ (approximation corrigée) 7. **Réponse finale exercice 1 :** $$l \approx 4.55$$ unités. --- 1. **Énoncé du problème 2 :** Dans un triangle quelconque ABC, avec $$BC = 10$$ m, $$\angle C = 80^\circ$$, $$\angle A = 35^\circ$$, et une inclinaison de 60° pour la ligne AB, déterminer les longueurs et hauteurs associées. 2. **Calcul de l'angle restant $$\angle B$$ :** $$\angle B = 180^\circ - 80^\circ - 35^\circ = 65^\circ$$ 3. **Application de la loi des sinus :** $$\frac{AB}{\sin 80^\circ} = \frac{BC}{\sin 35^\circ} = \frac{AC}{\sin 65^\circ}$$ 4. **Calcul de $$AB$$ :** $$AB = \frac{BC \times \sin 80^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{10 \times 0.9848}{0.574} = \frac{9.848}{0.574}$$ 5. **Simplification avec annulation :** $$AB = \frac{\cancel{10} \times 0.9848}{\cancel{0.574}} = 17.15$$ m (approximation) 6. **Calcul de $$AC$$ :** $$AC = \frac{BC \times \sin 65^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{10 \times 0.9063}{0.574} = \frac{9.063}{0.574}$$ 7. **Simplification avec annulation :** $$AC = \frac{\cancel{10} \times 0.9063}{\cancel{0.574}} = 15.79$$ m (approximation) 8. **Hauteur de l'arbre (projection verticale) :** Si AB est incliné à 60° de la verticale, la hauteur $$h$$ est $$h = AB \times \cos 60^\circ = 17.15 \times 0.5 = 8.575$$ m 9. **Réponse finale exercice 2 :** Longueur $$AB \approx 17.15$$ m, longueur $$AC \approx 15.79$$ m, hauteur de l'arbre $$h \approx 8.58$$ m.