1. **Énoncé du problème :** Nous devons prouver que les triangles $\triangle DEM$ et $\triangle GFM$ sont semblables, identifier les angles homologues, puis trouver la valeur de $x$. 2. **Propriété utilisée :** Deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux ou si leurs côtés sont proportionnels. 3. **Données et hypothèses :** - $DE \parallel GF$ (donné) - $m_{DE} = 4$ cm - $m_{GF} = 8$ cm - $DM = x$ cm - $MG = 5$ cm - $m_{DE} / m_{FG} = 4 / 8 = 1/2$ 4. **Preuve de la similitude :** Puisque $DE \parallel GF$, les angles alternes-internes sont égaux : - $m\angle DEM = m\angle GFM$ - $m\angle DME = m\angle GMF$ De plus, l'angle $\angle D$ est commun aux deux triangles, donc : - $\triangle DEM \sim \triangle GFM$ par le critère AA (deux angles égaux). 5. **Angles homologues :** - $\angle DEM \leftrightarrow \angle GFM$ - $\angle DME \leftrightarrow \angle GMF$ - $\angle EMD \leftrightarrow \angle FMG$ 6. **Calcul de $x$ par proportionnalité :** On utilise la proportion des côtés homologues : $$\frac{m_{DE}}{m_{FG}} = \frac{m_{DM}}{m_{MG}}$$ $$\frac{4}{8} = \frac{x}{5}$$ On multiplie en croix : $$4 \times 5 = 8 \times x$$ $$20 = 8x$$ On divise par 8 : $$x = \frac{20}{8} = \frac{\cancel{20}}{\cancel{8}} = 2.5$$ 7. **Conclusion :** Les triangles $\triangle DEM$ et $\triangle GFM$ sont semblables. Les angles homologues sont identifiés. La valeur de $x$ est $2.5$ cm.