1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle rectangle ABC en B avec $AB=3$ et $BC=1$. Les points D et E sont définis par $\overrightarrow{BD} = 3 \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. 2. **Placer les points M et N :** - $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD}$ - $\overrightarrow{BN} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{BA}$ 3. **Calcul des vecteurs de base :** Posons $B$ à l'origine $(0,0)$ pour simplifier. - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (0-3,0-0) = (-3,0)$ car $AB=3$ horizontal vers la gauche. - $\overrightarrow{BC} = (0,1)$ car $BC=1$ vertical vers le haut. 4. **Calcul de $\overrightarrow{BD}$ :** $$\overrightarrow{BD} = 3 \overrightarrow{BC} = 3 \times (0,1) = (0,3)$$ 5. **Calcul de $\overrightarrow{BE}$ :** $$\overrightarrow{BE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = -\frac{2}{3} (-3,0) + (0,1) = (2,0) + (0,1) = (2,1)$$ 6. **Calcul de $\overrightarrow{BM}$ :** $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = (3,0) + (0,3) = (3,3)$$ 7. **Calcul de $\overrightarrow{BN}$ :** $$\overrightarrow{BN} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{BA} = -\frac{2}{3} (-\overrightarrow{AB}) = -\frac{2}{3} (3,0) = (-2,0)$$ 8. **Calcul de $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}|$ :** D'abord, $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = (0,-1)$. $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = (-3,0) - (0,-1) = (-3,1)$$ Norme : $$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ 9. **Calcul de $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE}|$ :** Calculons $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{C} = (2,1) - (0,1) = (2,0)$. $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = (-3,0) + (2,0) = (-1,0)$$ Norme : $$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$$ **Réponses finales :** - $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}| = \sqrt{10}$ - $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE}| = 1$