1. **Énoncé du problème :** On considère les points $A(2, -3)$, $B(-2, 1)$ et $C(3, 4)$. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis calculer $\cos(\widehat{AB, AC})$, $\sin(\widehat{AB, AC})$ et enfin la surface du triangle $ABC$. 2. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-2 - 2, 1 - (-3)) = (-4, 4)$$ $$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (3 - 2, 4 - (-3)) = (1, 7)$$ 3. **Calcul des normes $AB$ et $AC$ :** $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ $$AC = \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 4. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(1) + 4(7) = -4 + 28 = 24$$ 5. **Calcul de $\cos(\widehat{AB, AC})$ :** $$\cos(\widehat{AB, AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \frac{24}{4\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}} = \frac{24}{20 \times 2} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6$$ 6. **Calcul de $\sin(\widehat{AB, AC})$ :** On utilise la relation $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ : $$\sin(\widehat{AB, AC}) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$$ 7. **Calcul de la surface du triangle $ABC$ :** La surface est donnée par : $$\text{Surface} = \frac{1}{2} AB \times AC \times \sin(\widehat{AB, AC})$$ $$= \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \times \frac{4}{5}$$ Simplifions : $$= \frac{1}{2} \times \cancel{4} \sqrt{2} \times \cancel{5} \sqrt{2} \times \frac{4}{\cancel{5}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times 4 = \frac{1}{2} \times 32 = 16$$ **Réponse finale :** - $AB = 4\sqrt{2}$ - $AC = 5\sqrt{2}$ - $\cos(\widehat{AB, AC}) = \frac{3}{5}$ - $\sin(\widehat{AB, AC}) = \frac{4}{5}$ - Surface du triangle $ABC = 16$ unités carrées.