1. **Énoncé du problème** : Un ébéniste doit fabriquer et vernir six pièces en forme de cylindre circulaire droit creux (couronne isométrique). Les dimensions sont : hauteur $h=124$ mm, diamètre extérieur supérieur $d_{ext,sup}=75$ mm, diamètre extérieur inférieur $d_{ext,inf}=106$ mm. Le vernis couvre 15,2 m² par litre et deux couches sont nécessaires. On cherche le volume de vernis en ml nécessaire. 2. **Formule utilisée** : La surface à vernir est la surface extérieure totale des six cylindres, incluant la surface latérale et les deux bases (couronnes). La surface latérale d'un cylindre droit est $S_{lat} = 2\pi r h$. 3. **Calcul des rayons** : - Rayon extérieur supérieur $r_{ext,sup} = \frac{75}{2} = 37.5$ mm - Rayon extérieur inférieur $r_{ext,inf} = \frac{106}{2} = 53$ mm 4. **Surface latérale extérieure** : Le cylindre est tronqué, donc la surface latérale est celle d'un tronc de cône. La génératrice $g$ est donnée par $$g = \sqrt{h^2 + (r_{ext,inf} - r_{ext,sup})^2} = \sqrt{124^2 + (53 - 37.5)^2} = \sqrt{15376 + 240.25} = \sqrt{15616.25} \approx 124.99 \text{ mm}$$ La surface latérale extérieure est $$S_{lat,ext} = \pi (r_{ext,sup} + r_{ext,inf}) g = \pi (37.5 + 53) \times 124.99 = \pi \times 90.5 \times 124.99 \approx 35525.5 \text{ mm}^2$$ 5. **Surface des bases (couronnes)** : - Rayon intérieur supérieur $r_{int,sup} = \frac{75 - 2t}{2}$ et intérieur inférieur $r_{int,inf} = \frac{106 - 2t}{2}$, mais l'épaisseur $t$ n'est pas donnée, on suppose que la base est une couronne isométrique avec même épaisseur, donc on considère la surface des bases comme la différence entre deux cercles concentriques. Cependant, le problème ne donne pas l'épaisseur, donc on suppose que la surface des bases est la surface annulaire entre les rayons extérieurs et intérieurs. Sans épaisseur, on ne peut pas calculer la surface des bases, donc on considère uniquement la surface latérale extérieure pour le vernis. 6. **Surface totale à vernir pour un cylindre** : $$S_{total} = S_{lat,ext} \approx 35525.5 \text{ mm}^2 = 0.0355255 \text{ m}^2$$ 7. **Surface totale pour 6 cylindres** : $$6 \times 0.0355255 = 0.213153 \text{ m}^2$$ 8. **Surface totale pour deux couches** : $$2 \times 0.213153 = 0.426306 \text{ m}^2$$ 9. **Volume de vernis nécessaire** : Un litre couvre 15,2 m², donc $$\text{Volume (litres)} = \frac{0.426306}{15.2} = 0.02805 \text{ litres} = 28.05 \text{ ml}$$ **Réponse finale** : Il faut environ **28 ml** de vernis pour faire le travail.