1. **Énoncé du problème :** Calculer le volume d'un solide formé par un prisme droit à base hexagonale de hauteur 18 cm, duquel on a creusé deux cônes circulaires droits isométriques inversés, chacun de rayon 6 cm. 2. **Formules utilisées :** - Volume du prisme droit à base hexagonale : $$V_{prisme} = A_{base} \times h$$ - Aire d'un hexagone régulier de côté $a$ : $$A_{hexagone} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$ - Volume d'un cône droit : $$V_{cône} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ 3. **Données importantes :** - Hauteur du prisme $h = 18$ cm - Rayon des cônes $r = 6$ cm - Distance du centre à un sommet de l'hexagone $= 10.4$ cm 4. **Calcul du côté de l'hexagone :** Dans un hexagone régulier, la distance du centre à un sommet est égale au côté $a$, donc $$a = 10.4 \text{ cm}$$ 5. **Calcul de l'aire de la base hexagonale :** $$A_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 10.4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 108.16$$ 6. **Calcul numérique :** $$A_{base} \approx \frac{3 \times 1.732}{2} \times 108.16 = 2.598 \times 108.16 \approx 280.9 \text{ cm}^2$$ 7. **Volume du prisme :** $$V_{prisme} = 280.9 \times 18 = 5056.2 \text{ cm}^3$$ 8. **Hauteur des cônes :** Les deux cônes sont isométriques et inversés, ils se rencontrent au milieu du prisme, donc chacun a une hauteur de $$h_{cône} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}$$ 9. **Volume d'un cône :** $$V_{cône} = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 9 = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 9 = 108 \pi \approx 339.29 \text{ cm}^3$$ 10. **Volume total des deux cônes :** $$2 \times 339.29 = 678.58 \text{ cm}^3$$ 11. **Volume du solide final :** $$V = V_{prisme} - 2 \times V_{cône} = 5056.2 - 678.58 = 4377.62 \text{ cm}^3$$ **Réponse finale :** Le volume du solide est d'environ **4378 cm^3**.