1. **Énoncé du problème** : Calculer le volume d'un tronc de cône circulaire droit de hauteur $h$, de rayon inférieur $R$ et de rayon supérieur $r$ en utilisant une intégrale et la méthode des tranches. 2. **Formule et méthode** : On considère l'axe vertical $x$ allant de la base inférieure ($x=0$) à la base supérieure ($x=h$). Le rayon $y(x)$ varie linéairement entre $R$ et $r$ selon : $$y(x) = R + \frac{r - R}{h} x$$ Le volume $V$ est obtenu par intégration des aires des disques de rayon $y(x)$ : $$V = \int_0^h \pi y(x)^2 \, dx$$ 3. **Calcul de l'intégrale** : $$V = \pi \int_0^h \left(R + \frac{r - R}{h} x\right)^2 dx$$ Développons le carré : $$\left(R + \frac{r - R}{h} x\right)^2 = R^2 + 2R \frac{r - R}{h} x + \left(\frac{r - R}{h}\right)^2 x^2$$ Donc : $$V = \pi \int_0^h \left(R^2 + 2R \frac{r - R}{h} x + \left(\frac{r - R}{h}\right)^2 x^2\right) dx$$ 4. **Intégration terme à terme** : $$V = \pi \left[ R^2 x + 2R \frac{r - R}{h} \frac{x^2}{2} + \left(\frac{r - R}{h}\right)^2 \frac{x^3}{3} \right]_0^h$$ Simplifions les coefficients : $$V = \pi \left[ R^2 h + R (r - R) h + \frac{(r - R)^2}{h^2} \frac{h^3}{3} \right]$$ $$V = \pi \left[ R^2 h + R (r - R) h + \frac{(r - R)^2 h}{3} \right]$$ 5. **Factorisation** : $$V = \pi h \left[ R^2 + R (r - R) + \frac{(r - R)^2}{3} \right]$$ Développons l'intérieur : $$R^2 + Rr - R^2 + \frac{r^2 - 2rR + R^2}{3} = Rr + \frac{r^2 - 2rR + R^2}{3}$$ $$= Rr + \frac{r^2}{3} - \frac{2rR}{3} + \frac{R^2}{3} = \frac{3Rr}{3} + \frac{r^2}{3} - \frac{2rR}{3} + \frac{R^2}{3}$$ $$= \frac{r^2 + R^2 + Rr}{3}$$ 6. **Formule finale** : $$\boxed{V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2)}$$ Cette formule correspond au volume du tronc de cône circulaire droit calculé par intégrale et méthode des tranches.