1. Planteamos el problema: Queremos encontrar el valor de $m$ para que los puntos $P(1,4)$, $Q(5,-2)$ y $R(m,0)$ estén alineados. 2. Para que tres puntos estén alineados, la pendiente entre $P$ y $Q$ debe ser igual a la pendiente entre $Q$ y $R$. 3. Calculamos la pendiente entre $P$ y $Q$ usando la fórmula de pendiente $$m_{PQ} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{5 - 1} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$ 4. Calculamos la pendiente entre $Q$ y $R$: $$m_{QR} = \frac{0 - (-2)}{m - 5} = \frac{2}{m - 5}$$ 5. Igualamos las pendientes para que los puntos estén alineados: $$-\frac{3}{2} = \frac{2}{m - 5}$$ 6. Multiplicamos cruzado para despejar $m$: $$-3(m - 5) = 4$$ 7. Expandimos y simplificamos: $$-3m + 15 = 4$$ 8. Restamos 15 en ambos lados: $$-3m = 4 - 15 = -11$$ 9. Dividimos ambos lados por $-3$: $$m = \frac{-11}{\cancel{-3}} \cancel{-1} = \frac{11}{3}$$ 10. Por lo tanto, el valor de $m$ para que los puntos estén alineados es $$m = \frac{11}{3}$$.