1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un plano $\Pi$ con ecuación cartesiana $$2x + y + 2z = 3$$ Y una recta $L$ con ecuación vectorial $$\mathbf{r} = (3, -5, 1) + \mu (1, -2, p), \quad \mu, p \in \mathbb{R}$$ El ángulo agudo entre la recta $L$ y el plano $\Pi$ es de 30°. Se pide hallar los posibles valores de $p$. 2. **Fórmulas y conceptos importantes:** - El vector normal al plano $\Pi$ es $$\mathbf{n} = (2, 1, 2)$$ - El vector director de la recta $L$ es $$\mathbf{v} = (1, -2, p)$$ - El ángulo $\theta$ entre la recta y el plano está relacionado con el ángulo $\phi$ entre el vector director $\mathbf{v}$ y el vector normal $\mathbf{n}$ por: $$\theta = 90^\circ - \phi$$ - Por lo tanto, si el ángulo agudo entre la recta y el plano es 30°, entonces: $$\theta = 30^\circ \implies \phi = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$ - El coseno del ángulo $\phi$ entre dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se calcula como: $$\cos \phi = \frac{|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$$ 3. **Aplicación al problema:** Calculemos $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Entonces: $$\frac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{n}\|} = \frac{1}{2}$$ 4. **Calculemos los productos y normas:** Producto punto: $$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + p \cdot 2 = 2 - 2 + 2p = 2p$$ Norma de $\mathbf{v}$: $$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + p^2} = \sqrt{1 + 4 + p^2} = \sqrt{5 + p^2}$$ Norma de $\mathbf{n}$: $$\|\mathbf{n}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ 5. **Sustituyendo en la fórmula:** $$\frac{|2p|}{3 \sqrt{5 + p^2}} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos ambos lados por $$3 \sqrt{5 + p^2}$$: $$|2p| = \frac{3}{2} \sqrt{5 + p^2}$$ 6. **Elevamos al cuadrado para eliminar el valor absoluto y la raíz:** $$ (2p)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 (5 + p^2) $$ $$ 4p^2 = \frac{9}{4} (5 + p^2) $$ 7. **Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar denominadores:** $$ 16 p^2 = 9 (5 + p^2) $$ $$ 16 p^2 = 45 + 9 p^2 $$ 8. **Pasamos todos los términos a un lado:** $$ 16 p^2 - 9 p^2 = 45 $$ $$ 7 p^2 = 45 $$ 9. **Despejamos $p^2$:** $$ p^2 = \frac{45}{7} $$ 10. **Sacamos raíz cuadrada:** $$ p = \pm \sqrt{\frac{45}{7}} = \pm \frac{3 \sqrt{35}}{7} $$ **Respuesta final:** Los posibles valores de $p$ son: $$ p = \frac{3 \sqrt{35}}{7} \quad \text{o} \quad p = -\frac{3 \sqrt{35}}{7} $$