1. **Planteamiento del problema:** Dado el triángulo con vértices $A(1,1)$, $B(4,2)$ y $C(2,5)$, debemos calcular los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, luego hallar el área del triángulo usando determinantes y finalmente determinar si los puntos están alineados. 2. **Cálculo de los vectores:** El vector $\vec{AB}$ se obtiene restando las coordenadas de $A$ a $B$: $$\vec{AB} = (4-1, 2-1) = (3,1)$$ El vector $\vec{AC}$ se obtiene restando las coordenadas de $A$ a $C$: $$\vec{AC} = (2-1, 5-1) = (1,4)$$ 3. **Fórmula para el área usando determinantes:** El área del triángulo formado por dos vectores en el plano es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \right|$$ donde $\vec{AB} = (x_1,y_1)$ y $\vec{AC} = (x_2,y_2)$. 4. **Cálculo del determinante:** $$\det = (3)(4) - (1)(1) = 12 - 1 = 11$$ 5. **Cálculo del área:** $$\text{Área} = \frac{1}{2} |11| = \frac{11}{2} = 5.5$$ 6. **Determinación de alineación:** Los puntos están alineados si el área es cero. Como $5.5 \neq 0$, los puntos no están alineados. **Respuesta final:** - $\vec{AB} = (3,1)$ - $\vec{AC} = (1,4)$ - Área del triángulo $= 5.5$ - Los puntos no están alineados.