1. **Problema:** Encontrar las ecuaciones Punto-Pendiente, Pendiente-Intersepto y General de la recta que pasa por los puntos dados, además del ángulo de inclinación de la recta. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ - Ecuación Punto-Pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ - Ecuación Pendiente-Intersepto: $y = mx + b$, donde $b$ es la intersección con el eje $y$ - Ecuación General: $Ax + By + C = 0$ - Ángulo de inclinación $\theta = \arctan(m)$ (en grados $\theta = \arctan(m) \times \frac{180}{\pi}$) --- ### a) P = (-3, -8), Q = (2, 5) 1. Calcular pendiente: $$m = \frac{5 - (-8)}{2 - (-3)} = \frac{13}{5}$$ 2. Ecuación Punto-Pendiente usando P: $$y - (-8) = \frac{13}{5}(x - (-3))$$ $$y + 8 = \frac{13}{5}(x + 3)$$ 3. Ecuación Pendiente-Intersepto: $$y = \frac{13}{5}x + b$$ Para encontrar $b$, usar punto P: $$-8 = \frac{13}{5}(-3) + b$$ $$-8 = -\frac{39}{5} + b$$ $$b = -8 + \frac{39}{5} = -\frac{40}{5} + \frac{39}{5} = -\frac{1}{5}$$ Entonces: $$y = \frac{13}{5}x - \frac{1}{5}$$ 4. Ecuación General: Multiplicamos para eliminar fracciones: $$5y = 13x - 1$$ $$13x - 5y - 1 = 0$$ 5. Ángulo de inclinación: $$\theta = \arctan\left(\frac{13}{5}\right) \approx 68.2^\circ$$ --- ### b) P = (-5, 3), Q = (10, 3) 1. Pendiente: $$m = \frac{3 - 3}{10 - (-5)} = 0$$ 2. Ecuación Punto-Pendiente: $$y - 3 = 0(x + 5)$$ $$y = 3$$ 3. Ecuación Pendiente-Intersepto: $$y = 0 \cdot x + 3 = 3$$ 4. Ecuación General: $$y - 3 = 0$$ $$0x + 1y - 3 = 0$$ 5. Ángulo de inclinación: $$\theta = \arctan(0) = 0^\circ$$ --- ### e) P = (3, 7), Q = (8, -4) 1. Pendiente: $$m = \frac{-4 - 7}{8 - 3} = \frac{-11}{5}$$ 2. Ecuación Punto-Pendiente usando P: $$y - 7 = -\frac{11}{5}(x - 3)$$ 3. Ecuación Pendiente-Intersepto: $$y = -\frac{11}{5}x + b$$ Usando P para $b$: $$7 = -\frac{11}{5} \cdot 3 + b$$ $$7 = -\frac{33}{5} + b$$ $$b = 7 + \frac{33}{5} = \frac{35}{5} + \frac{33}{5} = \frac{68}{5}$$ Entonces: $$y = -\frac{11}{5}x + \frac{68}{5}$$ 4. Ecuación General: Multiplicamos por 5: $$5y = -11x + 68$$ $$11x + 5y - 68 = 0$$ 5. Ángulo de inclinación: $$\theta = \arctan\left(-\frac{11}{5}\right) \approx -65.4^\circ$$ --- ### f) P = (2, 7), Q = (2, -3) 1. Pendiente: $$m = \frac{-3 - 7}{2 - 2} = \frac{-10}{0}$$ La pendiente es indefinida (línea vertical). 2. Ecuación Punto-Pendiente no es aplicable porque la pendiente es indefinida. 3. Ecuación Pendiente-Intersepto no existe para línea vertical. 4. Ecuación General: $$x = 2$$ Se puede escribir como: $$1 \cdot x + 0 \cdot y - 2 = 0$$ 5. Ángulo de inclinación: Para línea vertical, $\theta = 90^\circ$. --- **Respuesta final:** - a) Punto-Pendiente: $y + 8 = \frac{13}{5}(x + 3)$ Pendiente-Intersepto: $y = \frac{13}{5}x - \frac{1}{5}$ General: $13x - 5y - 1 = 0$ Ángulo: $68.2^\circ$ - b) Punto-Pendiente: $y = 3$ Pendiente-Intersepto: $y = 3$ General: $y - 3 = 0$ Ángulo: $0^\circ$ - e) Punto-Pendiente: $y - 7 = -\frac{11}{5}(x - 3)$ Pendiente-Intersepto: $y = -\frac{11}{5}x + \frac{68}{5}$ General: $11x + 5y - 68 = 0$ Ángulo: $-65.4^\circ$ - f) Ecuación: $x = 2$ Ángulo: $90^\circ$