1. Enunciado: Calcular la excentricidad de la hipérbola dada por $9x^2-7y^2+256=0$. 2. Reescribir la ecuación en forma estándar. Pasamos 256 al otro lado: $9x^2-7y^2 = -256$. Multiplicamos por -1 para obtener $7y^2 - 9x^2 = 256$. 3. Dividir ambos lados por 256 para obtener 1 en el lado derecho. $$\frac{7y^2 - 9x^2}{\cancel{256}} = \frac{\cancel{256}}{\cancel{256}}$$ De donde $$\frac{7y^2}{256} - \frac{9x^2}{256} = 1$$ 4. Identificar $a^2$ y $b^2$ comparando con la forma $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$ Así, $a^2 = \frac{256}{7}$ y $b^2 = \frac{256}{9}$. 5. Fórmula de la excentricidad para esta hipérbola. $$e = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}$$ 6. Sustituir $a^2$ y $b^2$ y simplificar. $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{\frac{256}{9}}{\frac{256}{7}} = \frac{256}{9} \cdot \frac{7}{256} = \frac{\cancel{256} \cdot 7}{9 \cdot \cancel{256}} = \frac{7}{9}$$ Por tanto $$e = \sqrt{1 + \frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$ Respuesta final: La excentricidad es $e = \frac{4}{3}$.