1. Planteamiento del problema: Encontrar la ecuación de la mediatriz de un segmento dado por dos puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$. 2. Fórmula y reglas importantes: - La mediatriz es la recta perpendicular al segmento $AB$ que pasa por su punto medio. - Primero calculamos el punto medio $M$ con la fórmula $$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$ - Luego calculamos la pendiente del segmento $AB$: $$m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ - La pendiente de la mediatriz es la negativa recíproca: $$m_{m}= -\frac{1}{m_{AB}}$$ (si $m_{AB}=0$, la mediatriz es una recta vertical; si $m_{AB}$ es indefinida, la mediatriz es horizontal). 3. Ejemplo con puntos $A(2,3)$ y $B(6,7)$: - Calculamos el punto medio: $$M=\left(\frac{2+6}{2},\frac{3+7}{2}\right)=\left(4,5\right)$$ - Calculamos la pendiente del segmento: $$m_{AB}=\frac{7-3}{6-2}=\frac{4}{4}=1$$ - Pendiente de la mediatriz: $$m_{m}=-\frac{1}{1}=-1$$ 4. Ecuación de la mediatriz usando la forma punto-pendiente: $$y-y_1=m(x-x_1)$$ Sustituyendo $M(4,5)$ y $m_m=-1$: $$y-5=-1(x-4)$$ Simplificamos: $$y-5=-x+4$$ $$y=-x+4+5$$ $$y=-x+9$$ 5. Respuesta final: La ecuación de la mediatriz del segmento $AB$ es $$y=-x+9$$. Este método se puede aplicar a cualquier segmento para encontrar su mediatriz.