1. **Planteamiento del problema:** Encontrar la ecuación de una parábola con eje horizontal que pasa por los puntos $P(-1,1)$, $Q(11,-2)$ y $R(5,-1)$. 2. **Fórmula general para parábola con eje horizontal:** La ecuación estándar es $$ (y-k)^2 = 4p(x-h) $$ donde $(h,k)$ es el vértice y $p$ es la distancia del vértice al foco. 3. **Asumimos la forma general:** $$ y^2 = 4ax + bx + c $$ no es directa, mejor usar la forma general de parábola con eje horizontal: $$ (y-k)^2 = 4p(x-h) $$ 4. **Planteamos sistema con los puntos dados:** Sea la ecuación $$ (y-k)^2 = 4p(x-h) $$ Sustituimos cada punto: - Para $P(-1,1)$: $$ (1-k)^2 = 4p(-1 - h) $$ - Para $Q(11,-2)$: $$ (-2-k)^2 = 4p(11 - h) $$ - Para $R(5,-1)$: $$ (-1-k)^2 = 4p(5 - h) $$ 5. **Definimos variables:** Sea $A = 4p$, para simplificar. 6. **Sistema de ecuaciones:** $$ (1-k)^2 = A(-1 - h) $$ $$ (-2-k)^2 = A(11 - h) $$ $$ (-1-k)^2 = A(5 - h) $$ 7. **Restamos la primera ecuación de la segunda y tercera para eliminar $A$:** De la 2 y 1: $$ (-2-k)^2 - (1-k)^2 = A(11 - h - (-1 - h)) = A(12) $$ De la 3 y 1: $$ (-1-k)^2 - (1-k)^2 = A(5 - h - (-1 - h)) = A(6) $$ 8. **Calculamos las diferencias de cuadrados:** $$ (-2-k)^2 - (1-k)^2 = ((-2-k)-(1-k))(((-2-k)+(1-k))) = (-3)(-1-2k) = 3 + 6k $$ $$ (-1-k)^2 - (1-k)^2 = ((-1-k)-(1-k))(((-1-k)+(1-k))) = (-2)(-2k) = 4k $$ 9. **Igualamos a las expresiones con $A$:** $$ 3 + 6k = 12A $$ $$ 4k = 6A $$ 10. **De la segunda ecuación despejamos $A$:** $$ A = \frac{4k}{6} = \frac{2k}{3} $$ 11. **Sustituimos en la primera:** $$ 3 + 6k = 12 \times \frac{2k}{3} = 8k $$ $$ 3 + 6k = 8k $$ $$ 3 = 2k $$ $$ k = \frac{3}{2} = 1.5 $$ 12. **Calculamos $A$:** $$ A = \frac{2 \times 1.5}{3} = 1 $$ 13. **Usamos la primera ecuación para hallar $h$:** $$ (1 - 1.5)^2 = 1 \times (-1 - h) $$ $$ (-0.5)^2 = -1 - h $$ $$ 0.25 = -1 - h $$ $$ h = -1 - 0.25 = -1.25 $$ 14. **Finalmente, la ecuación es:** $$ (y - 1.5)^2 = 4p(x + 1.25) $$ Recordando que $A = 4p = 1$, entonces $p = \frac{1}{4}$. 15. **Ecuación final:** $$ (y - 1.5)^2 = (x + 1.25) $$ **Respuesta:** La ecuación de la parábola con eje horizontal que pasa por los puntos dados es $$ (y - 1.5)^2 = x + 1.25 $$.