1. **Planteamiento del problema:** Determinar un plano que contiene a la recta $r$ dada por el sistema: $$\begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$$ y que es paralelo a la recta $s$ dada por: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{-4}$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Un plano que contiene una recta $r$ debe contener su vector director. - Si el plano es paralelo a otra recta $s$, entonces el vector director de $s$ debe ser paralelo al plano, es decir, perpendicular al vector normal del plano. - El vector normal del plano es perpendicular a todos los vectores que yacen en el plano. 3. **Encontrar el vector director de la recta $r$:** La recta $r$ es la intersección de dos planos: $$P_1: x + y - 1 = 0$$ $$P_2: 2x - y + z = 0$$ El vector normal de $P_1$ es $\vec{n_1} = (1,1,0)$ y de $P_2$ es $\vec{n_2} = (2,-1,1)$. El vector director de $r$ es el producto cruz de $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1), 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = (1, -1, -3)$$ 4. **Vector director de la recta $s$:** De la ecuación simétrica: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{-4}$$ El vector director es: $$\vec{d_s} = (2, 3, -4)$$ 5. **Condición de paralelismo del plano con $s$:** El vector normal del plano $\vec{n}$ debe ser perpendicular a $\vec{d_s}$, es decir: $$\vec{n} \cdot \vec{d_s} = 0$$ 6. **El plano contiene a $r$, por lo que $\vec{d_r}$ es paralelo al plano, entonces $\vec{n} \perp \vec{d_r}$:** $$\vec{n} \cdot \vec{d_r} = 0$$ 7. **Sistema para $\vec{n} = (A,B,C)$:** $$\begin{cases} 2A + 3B - 4C = 0 \\ A - B - 3C = 0 \end{cases}$$ 8. **Resolver el sistema:** De la segunda ecuación: $$A - B - 3C = 0 \Rightarrow A = B + 3C$$ Sustituimos en la primera: $$2(B + 3C) + 3B - 4C = 0$$ $$2B + 6C + 3B - 4C = 0$$ $$5B + 2C = 0 \Rightarrow 5B = -2C \Rightarrow B = -\frac{2}{5}C$$ Entonces: $$A = B + 3C = -\frac{2}{5}C + 3C = \frac{13}{5}C$$ 9. **Vector normal (proporcional):** Tomamos $C = 5$ para evitar fracciones: $$A = 13, \quad B = -2, \quad C = 5$$ 10. **Ecuación del plano:** Usamos un punto de la recta $r$. Para $z=0$, de $P_2$: $$2x - y + 0 = 0 \Rightarrow 2x = y$$ De $P_1$: $$x + y - 1 = 0 \Rightarrow x + y = 1$$ Sustituimos $y = 2x$: $$x + 2x = 1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$ Entonces: $$y = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Punto $P = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ 11. **Ecuación general del plano:** $$13(x - \frac{1}{3}) - 2(y - \frac{2}{3}) + 5(z - 0) = 0$$ $$13x - \frac{13}{3} - 2y + \frac{4}{3} + 5z = 0$$ Multiplicamos todo por 3 para eliminar denominadores: $$39x - 13 - 6y + 4 + 15z = 0$$ $$39x - 6y + 15z - 9 = 0$$ 12. **Respuesta final:** $$\boxed{39x - 6y + 15z = 9}$$