1. **Planteamiento del problema:** Calcular la ecuación del plano que pasa por la recta dada $$\frac{x-2}{4} = \frac{y-3}{2} = z$$ y que es perpendicular al plano $$7x - y - 2z + 11 = 0$$. 2. **Datos y fórmulas:** - La recta está dada en forma simétrica: $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$ donde $$\vec{d} = (a,b,c)$$ es el vector director. - El plano perpendicular a otro plano tiene un vector normal $$\vec{n}$$ perpendicular al vector normal del plano dado. - La ecuación general del plano es $$Ax + By + Cz + D = 0$$ donde $$\vec{n} = (A,B,C)$$. 3. **Obtener vector director de la recta:** De la recta $$\frac{x-2}{4} = \frac{y-3}{2} = z$$, el vector director es $$\vec{d} = (4,2,1)$$. 4. **Obtener vector normal del plano dado:** El plano dado es $$7x - y - 2z + 11 = 0$$, su vector normal es $$\vec{n_1} = (7,-1,-2)$$. 5. **Condición de perpendicularidad:** El plano buscado debe ser perpendicular al plano dado, por lo que su vector normal $$\vec{n}$$ debe ser perpendicular a $$\vec{n_1}$$. 6. **El plano debe contener la recta:** El vector director $$\vec{d}$$ de la recta está contenido en el plano, por lo que $$\vec{n} \cdot \vec{d} = 0$$. 7. **Sistema para encontrar $$\vec{n} = (A,B,C)$$:** - $$\vec{n} \cdot \vec{n_1} = 0 \Rightarrow 7A - B - 2C = 0$$ - $$\vec{n} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow 4A + 2B + C = 0$$ 8. **Resolver el sistema:** De la segunda ecuación despejamos $$C$$: $$C = -4A - 2B$$ Sustituimos en la primera: $$7A - B - 2(-4A - 2B) = 0$$ $$7A - B + 8A + 4B = 0$$ $$15A + 3B = 0$$ $$5A + B = 0 \Rightarrow B = -5A$$ 9. **Sustituimos $$B$$ en $$C$$:** $$C = -4A - 2(-5A) = -4A + 10A = 6A$$ 10. **Vector normal general:** $$\vec{n} = (A, B, C) = (A, -5A, 6A) = A(1, -5, 6)$$ 11. **Ecuación del plano:** Usamos un punto de la recta para hallar $$D$$. Tomamos $$P_0 = (2,3,0)$$ (cuando $$z=0$$, $$x=2$$, $$y=3$$). La ecuación es: $$1(x-2) - 5(y-3) + 6(z-0) = 0$$ $$x - 2 - 5y + 15 + 6z = 0$$ $$x - 5y + 6z + 13 = 0$$ Multiplicamos por -3 para comparar con opciones: $$-3x + 15y - 18z - 39 = 0$$ 12. **Respuesta:** La opción correcta es la b) $$-3x + 15y - 18z - 39 = 0$$.