1. **Planteamiento del problema:** Se da el punto $P=(1,1,1)$, la recta $r$ definida por el sistema $$\begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - z - 1 = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi: x + y + z = 1$. 2. **Parte 2.1: Encontrar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** - La normal del plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - El plano buscado debe contener la recta $r$, que es intersección de dos planos: $$P_1: x + y - z + 1 = 0$$ $$P_2: x + 2y - z - 1 = 0$$ - La dirección de la recta $r$ es el vector director $\vec{d} = \vec{n}_{P_1} \times \vec{n}_{P_2}$, donde $$\vec{n}_{P_1} = (1,1,-1), \quad \vec{n}_{P_2} = (1,2,-1)$$ - Calculamos el producto cruz: $$\vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2, - (1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1), 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = ( -1 + 2, -(-1 + 1), 2 - 1) = (1, 0, 1)$$ - El plano buscado debe contener $\vec{d}$ y ser perpendicular a $\pi$, por lo que su normal $\vec{n}$ es perpendicular a $\vec{d}$ y paralelo a $\vec{n}_\pi$. - Como el plano es perpendicular a $\pi$, su normal es paralelo a $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - Además, el plano contiene la recta $r$, por lo que su normal debe ser perpendicular a $\vec{d} = (1,0,1)$. - Verificamos que $\vec{n}_\pi \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 2 \neq 0$, por lo que $\vec{n}_\pi$ no es perpendicular a $\vec{d}$. - Por tanto, el plano buscado tiene normal $\vec{n}$ perpendicular a $\vec{d}$ y paralelo a $\vec{n}_\pi$, es decir, $\vec{n}$ es combinación lineal de $\vec{n}_\pi$ y un vector perpendicular a $\vec{d}$. - Para simplificar, el plano buscado es el que contiene $r$ y es perpendicular a $\pi$, entonces su normal es $\vec{n} = \vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - Para encontrar la ecuación del plano, usamos un punto de $r$. Para ello, resolvemos el sistema de $r$ para encontrar un punto: De $x + y - z + 1 = 0$ y $x + 2y - z - 1 = 0$, restamos: $$ (x + 2y - z - 1) - (x + y - z + 1) = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$$ Sustituyendo $y=2$ en la primera ecuación: $$x + 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - z + 3 = 0 \Rightarrow z = x + 3$$ Tomamos $x=0$, entonces $z=3$, y el punto es $Q = (0,2,3)$. - La ecuación del plano con normal $\vec{n} = (1,1,1)$ que pasa por $Q$ es: $$1(x - 0) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Rightarrow x + y - 2 + z - 3 = 0 \Rightarrow x + y + z - 5 = 0$$ 3. **Parte 2.2: Proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$ y distancia de $P$ a $\pi$.** - El plano $\pi$ es $x + y + z = 1$ con normal $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - La distancia de un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ - Reescribimos $\pi$ como $x + y + z - 1 = 0$, entonces $A=B=C=1$, $D=-1$. - Calculamos la distancia: $$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ - Para la proyección ortogonal $P'$ de $P$ sobre $\pi$, usamos: $$P' = P - d \frac{\vec{n}_\pi}{\|\vec{n}_\pi\|}$$ - Calculamos $\|\vec{n}_\pi\| = \sqrt{3}$. - El vector unitario normal es: $$\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$$ - Entonces: $$P' = (1,1,1) - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = (1,1,1) - \frac{2}{3}(1,1,1) = \left(1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$ 4. **Parte 2.3: Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$.** - El ángulo entre una recta y un plano es $\theta = 90^\circ - \alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo entre el vector director de la recta y la normal del plano. - Ya calculamos el vector director de $r$: $$\vec{d} = (1,0,1)$$ - La normal del plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - Calculamos el coseno del ángulo $\alpha$ entre $\vec{d}$ y $\vec{n}_\pi$: $$\cos \alpha = \frac{\vec{d} \cdot \vec{n}_\pi}{\|\vec{d}\| \|\vec{n}_\pi\|} = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ - Entonces: $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$ - Finalmente, el ángulo entre la recta y el plano es: $$\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$ **Respuesta final:** - Ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$: $$x + y + z - 5 = 0$$ - Proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$: $$P' = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$ - Distancia de $P$ a $\pi$: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ - Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$: $$\theta = 90^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$