1. **Planteamiento del problema:** Se tiene el punto $P=(1,1,1)$, la recta $r$ definida por el sistema $$\begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - z - 1 = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi: x + y + z = 1$. 2. **Parte 2.1: Ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** - El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - El plano buscado debe contener la recta $r$, por lo que su vector normal debe ser perpendicular a los vectores directores de $r$. 3. **Encontrar el vector director de la recta $r$: ** - Restamos las ecuaciones para eliminar $z$: $$ (x + 2y - z - 1) - (x + y - z + 1) = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 $$ - Usamos $y=2$ en la primera ecuación: $$ x + 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - z + 3 = 0 \Rightarrow z = x + 3 $$ - Por lo tanto, la recta $r$ puede parametrizarse como: $$ x = t, \quad y = 2, \quad z = t + 3 $$ - Su vector director es $\vec{d}_r = (1,0,1)$. 4. **El plano buscado tiene vector normal $\vec{n}$ perpendicular a $\vec{d}_r$ y paralelo a $\vec{n}_\pi$:** - Como el plano es perpendicular a $\pi$, su vector normal es paralelo a $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$. - Además, debe contener $r$, por lo que $\vec{n} \cdot \vec{d}_r = 0$. 5. **Verificamos si $\vec{n}_\pi$ es perpendicular a $\vec{d}_r$:** $$ \vec{n}_\pi \cdot \vec{d}_r = (1)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 2 \neq 0 $$ - No es perpendicular, por lo que el plano buscado debe tener un vector normal $\vec{n}$ perpendicular a $\vec{d}_r$ y perpendicular a $\vec{n}_\pi$. 6. **Calculamos $\vec{n}$ como el producto vectorial:** $$ \vec{n} = \vec{d}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{k} = (-1,0,1) $$ 7. **Ecuación del plano con normal $\vec{n} = (-1,0,1)$ que contiene la recta $r$:** - Tomamos un punto de $r$, por ejemplo para $t=0$, $Q=(0,2,3)$. - La ecuación del plano es: $$ -1(x - 0) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Rightarrow -x + z - 3 = 0 \Rightarrow x - z + 3 = 0 $$ --- 8. **Parte 2.2: Proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$ y distancia de $P$ a $\pi$.** - El plano $\pi$ tiene normal $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$ y ecuación $x + y + z = 1$. - La distancia de un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ - Reescribimos $\pi$ como: $$ x + y + z - 1 = 0 \Rightarrow A=1, B=1, C=1, D=-1 $$ 9. **Calculamos la distancia de $P=(1,1,1)$ a $\pi$:** $$ d = \frac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ 10. **Proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$: ** - La fórmula para la proyección es: $$ P' = P - d \frac{\vec{n}_\pi}{\|\vec{n}_\pi\|} $$ - Vector normal unitario: $$ \hat{n}_\pi = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) $$ - Proyección: $$ P' = (1,1,1) - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = (1,1,1) - \frac{2}{3}(1,1,1) = \left(1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $$ --- 11. **Parte 2.3: Ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$.** - El ángulo entre la recta y el plano es complementario al ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal del plano. - Calculamos el coseno del ángulo $\theta$ entre $\vec{d}_r = (1,0,1)$ y $\vec{n}_\pi = (1,1,1)$: $$ \cos \phi = \frac{\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi}{\|\vec{d}_r\| \|\vec{n}_\pi\|} = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} $$ - El ángulo entre la recta y el plano es: $$ \theta = 90^\circ - \phi = 90^\circ - \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) $$ --- **Respuesta final:** - 2.1: Plano $x - z + 3 = 0$. - 2.2: Proyección ortogonal $P' = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ y distancia $\frac{2}{\sqrt{3}}$. - 2.3: Ángulo entre $r$ y $\pi$ es $90^\circ - \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$.