Question: 1) Sean la recta r : (x ; y ; z) = (1 + t ; k t ; 1 − t) y el punto P (1 ; 2 ; 1)
a) Determinar el valor de k de modo que el punto de coordenadas (-3 ; 1 ; 2)
pertenezca al plano que pasa por P y es ortogonal a la recta r .
b) Para el valor de k hallado, determinar la proyección del punto P sobre la recta
r .
hace el punto b, especificando la formula de proyeccion de un punto sobre una recta en R3
1. **Planteamiento del problema:**
Tenemos la recta $$r : (x,y,z) = (1+t, kt, 1 - t)$$ y el punto $$P(1,2,1)$$.
En el inciso a) se determinó el valor de $$k$$ para que el punto $$(-3,1,2)$$ pertenezca al plano que pasa por $$P$$ y es ortogonal a $$r$$. Ahora, en el inciso b), con ese valor de $$k$$, debemos encontrar la proyección del punto $$P$$ sobre la recta $$r$$.
2. **Fórmula para la proyección de un punto sobre una recta en $$\mathbb{R}^3$$:**
Si la recta $$r$$ está dada por un punto $$A$$ y un vector director $$\vec{v}$$, y $$P$$ es un punto cualquiera, la proyección $$P_{proj}$$ de $$P$$ sobre $$r$$ se calcula con:
$$
P_{proj} = A + \frac{(\vec{P} - \vec{A}) \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}
$$
Donde:
- $$\vec{P}$$ y $$\vec{A}$$ son los vectores posición de los puntos $$P$$ y $$A$$ respectivamente.
- $$\cdot$$ es el producto punto.
- $$\|\vec{v}\|$$ es la norma del vector director.
3. **Datos para el problema:**
- Punto $$A$$ en la recta cuando $$t=0$$: $$A = (1,0,1)$$.
- Vector director $$\vec{v} = (1, k, -1)$$.
4. **Valor de $$k$$ encontrado en el inciso a):**
Para que el punto $$(-3,1,2)$$ pertenezca al plano ortogonal a $$r$$ que pasa por $$P$$, el vector director $$\vec{v}$$ debe ser ortogonal al vector $$\overrightarrow{P(-3,1,2)}$$.
El vector $$\overrightarrow{P(-3,1,2)} = (-3 - 1, 1 - 2, 2 - 1) = (-4, -1, 1)$$.
La condición de ortogonalidad es:
$$
\vec{v} \cdot \overrightarrow{P(-3,1,2)} = 0 \\
(1, k, -1) \cdot (-4, -1, 1) = 0 \\
-4 - k - 1 = 0 \\
-5 - k = 0 \\
k = -5
$$
5. **Sustituimos $$k = -5$$ en $$\vec{v}$$:**
$$\vec{v} = (1, -5, -1)$$
6. **Calculamos $$\vec{P} - \vec{A}$$:**
$$
\vec{P} - \vec{A} = (1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (0, 2, 0)
$$
7. **Producto punto $$ (\vec{P} - \vec{A}) \cdot \vec{v} $$:**
$$
(0, 2, 0) \cdot (1, -5, -1) = 0 \times 1 + 2 \times (-5) + 0 \times (-1) = -10
$$
8. **Norma al cuadrado de $$\vec{v}$$:**
$$
\|\vec{v}\|^2 = 1^2 + (-5)^2 + (-1)^2 = 1 + 25 + 1 = 27
$$
9. **Calculamos el escalar para la proyección:**
$$
\frac{(\vec{P} - \vec{A}) \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} = \frac{-10}{27}
$$
10. **Finalmente, la proyección $$P_{proj}$$:**
$$
P_{proj} = A + \frac{-10}{27} \vec{v} = (1,0,1) + \frac{-10}{27} (1, -5, -1) = \left(1 - \frac{10}{27}, 0 + \frac{50}{27}, 1 + \frac{10}{27}\right)
$$
Simplificando:
$$
P_{proj} = \left(\frac{27}{27} - \frac{10}{27}, \frac{0}{27} + \frac{50}{27}, \frac{27}{27} + \frac{10}{27}\right) = \left(\frac{17}{27}, \frac{50}{27}, \frac{37}{27}\right)
$$
**Respuesta final:**
La proyección del punto $$P(1,2,1)$$ sobre la recta $$r$$ con $$k = -5$$ es:
$$
P_{proj} = \left(\frac{17}{27}, \frac{50}{27}, \frac{37}{27}\right)
$$