1. **Planteamiento del problema:** Se tienen los puntos $A(4,-3)$, $B(1,2)$, $C(5,-2)$ y $D(3,6)$. Se pide: a) Encontrar las coordenadas de un punto $P$ sobre el eje de las ordenadas (eje $y$) que esté a la misma distancia de $A$ y $B$. b) Hallar la ecuación de la recta $L$ en forma general, que pasa por $C$ y es paralela al segmento $BD$. c) Encontrar las coordenadas del punto $Q$ sobre la recta que pasa por $B$ y $C$, tal que $\frac{BQ}{QC} = \frac{1}{3}$. 2. **Parte a) Punto $P$ en eje $y$ equidistante de $A$ y $B$** - Como $P$ está en el eje de las ordenadas, su coordenada $x$ es 0, entonces $P = (0,y)$. - La distancia entre dos puntos $M(x_1,y_1)$ y $N(x_2,y_2)$ es: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ - Queremos que $PA = PB$, es decir: $$\sqrt{(0-4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(0-1)^2 + (y - 2)^2}$$ - Elevamos al cuadrado para eliminar raíces: $$ (0-4)^2 + (y + 3)^2 = (0-1)^2 + (y - 2)^2 $$ $$ 16 + (y + 3)^2 = 1 + (y - 2)^2 $$ - Expandimos los cuadrados: $$ 16 + y^2 + 6y + 9 = 1 + y^2 - 4y + 4 $$ - Simplificamos términos semejantes: $$ 16 + 9 + 6y = 1 + 4 - 4y $$ $$ 25 + 6y = 5 - 4y $$ - Pasamos términos con $y$ a un lado y constantes al otro: $$ 6y + 4y = 5 - 25 $$ $$ 10y = -20 $$ $$ y = \frac{\cancel{10}y}{\cancel{10}} = \frac{-20}{10} = -2 $$ - Por lo tanto, $P = (0, -2)$. 3. **Parte b) Ecuación de la recta $L$ que pasa por $C$ y es paralela a $BD$** - Primero, calculamos la pendiente de $BD$: $$ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ - La recta $L$ es paralela a $BD$, por lo que su pendiente es también $m_L = 2$. - La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $C(5,-2)$ es: $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ $$ y + 2 = 2(x - 5) $$ - Expandimos: $$ y + 2 = 2x - 10 $$ - Pasamos todos los términos a un lado para la forma general: $$ y - 2x + 12 = 0 $$ - Esta es la ecuación general de la recta $L$. 4. **Parte c) Coordenadas del punto $Q$ en la recta $BC$ tal que $\frac{BQ}{QC} = \frac{1}{3}$** - La razón indica que $Q$ divide el segmento $BC$ en la proporción $1:3$ desde $B$ hacia $C$. - Usamos la fórmula del punto que divide un segmento en razón $m:n$: $$ Q = \left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right) $$ - Aquí, $B = (1,2)$, $C = (5,-2)$, $m=1$, $n=3$: $$ x_Q = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ y_Q = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)}{4} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ - Por lo tanto, $Q = (2,1)$. **Respuesta final:** - a) $P = (0, -2)$ - b) Ecuación de $L$: $y - 2x + 12 = 0$ - c) $Q = (2,1)$