1. Planteamos el problema: Representar la recta $r$ que pasa por los puntos $M(1,1,5)$ y $N(6,5,1)$ en el espacio tridimensional. 2. Para hallar la ecuación vectorial de la recta $r$, usamos el vector director $\vec{d} = \overrightarrow{MN} = (6-1, 5-1, 1-5) = (5,4,-4)$. 3. La ecuación vectorial de la recta es: $$\vec{r}(t) = \vec{M} + t\vec{d} = (1,1,5) + t(5,4,-4)$$ 4. Para hallar las trazas, calculamos las intersecciones de la recta con los planos coordenados: - Traza horizontal (intersección con el plano $XY$, donde $z=0$): $$5 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{4}$$ Sustituimos $t$ en $x$ e $y$: $$x = 1 + 5 \cdot \frac{5}{4} = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$$ $$y = 1 + 4 \cdot \frac{5}{4} = 1 + 5 = 6$$ Por lo tanto, la traza horizontal es $H'(\frac{29}{4}, 6, 0)$. - Traza vertical (intersección con el plano $YZ$, donde $x=0$): $$1 + 5t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{5}$$ Sustituimos $t$ en $y$ y $z$: $$y = 1 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$ $$z = 5 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 5 + \frac{4}{5} = \frac{29}{5}$$ Por lo tanto, la traza vertical es $V'(0, \frac{1}{5}, \frac{29}{5})$. 5. La traza vertical proyectada en el plano horizontal es $V'v = (0, \frac{1}{5}, 0)$ y la traza horizontal proyectada en el plano vertical es $H'h = (\frac{29}{4}, 0, 0)$. 6. Procedimiento gráfico: Se dibujan los puntos $M$ y $N$, se traza la recta que los une, y se marcan las intersecciones con los planos coordenados para obtener las trazas. Respuesta final: - Traza horizontal: $H'(\frac{29}{4}, 6, 0)$ - Traza vertical: $V'(0, \frac{1}{5}, \frac{29}{5})$ - Proyecciones: $V'v = (0, \frac{1}{5}, 0)$ y $H'h = (\frac{29}{4}, 0, 0)$