1. Planteamos el problema: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$ y es perpendicular a la recta dada $9x - 5y = 1$. 2. Primero, hallamos la pendiente de la recta dada. La ecuación está en forma general, la convertimos a forma pendiente-intersección $y = mx + b$: $$9x - 5y = 1 \implies -5y = -9x + 1 \implies y = \frac{9}{5}x - \frac{1}{5}$$ La pendiente de esta recta es $m = \frac{9}{5}$. 3. La pendiente de una recta perpendicular es el negativo del recíproco de la pendiente original. Por lo tanto: $$m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{9}{5}} = -\frac{5}{9}$$ 4. Usamos la fórmula de la recta con pendiente y punto: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ Donde $m = -\frac{5}{9}$ y $\left(x_1, y_1\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$. 5. Sustituimos: $$y - \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{5}{9} \left(x - \frac{1}{2}\right)$$ $$y + \frac{2}{3} = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18}$$ 6. Restamos $\frac{2}{3}$ a ambos lados para despejar $y$: $$y = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18} - \frac{2}{3}$$ Para restar las fracciones, igualamos denominadores: $$\frac{2}{3} = \frac{12}{18}$$ Entonces: $$y = -\frac{5}{9}x + \frac{5}{18} - \frac{12}{18} = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}$$ 7. La ecuación final de la recta perpendicular que pasa por el punto dado es: $$\boxed{y = -\frac{5}{9}x - \frac{7}{18}}$$ Esta es la ecuación solicitada.